2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление многочлена
Сообщение21.09.2006, 07:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть p(x) действительный многочлен, удовлетворяющий условию: $p(x)\ge  0, \ \forall x\ge 0$. Докажите, что существуют два многочлена A(x) и B(x), что
$p(x)=A(x)^2+xB(x)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление многочлена
Сообщение21.09.2006, 08:21 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Руст писал(а):
Пусть p(x) действительный многочлен, удовлетворяющий условию: $p(x)\ge  0, \ \forall x\ge 0$. Докажите, что существуют два многочлена A(x) и B(x), что
$p(x)=A(x)^2+xB(x)^2.$


А можно пример таких многочленов для $p(x)=x^3+2x+1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление многочлена
Сообщение21.09.2006, 08:39 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
V.V. писал(а):
А можно пример таких многочленов для $p(x)=x^3+2x+1$?

$x^3+2x+1=(\sqrt{2a}x\pm 1)^2+x(x-a)^2, \ (2-a^2)^2=8a.$
Уравнение относительно а имеет два действительных решения. Меньший берётся со знаком +, больший со знаком -.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Во-первых, легко проверить тождество
$$(A^2+xB^2)(C^2+xD^2)=(AC-xBD)^2+x(AD+BC)^2.$$
Разложим p(x) на неприводимые
$$p(x)=(x-a_1)\ldots(x-a_n)(x^2+b_1 x+c_1)\ldots(x^2+b_m x+c_m).$$
Для множителей 2-го типа имеем
$$x^2+bx+c=(x-\sqrt{c})^2+x(\sqrt{b+2\sqrt{c}})^2.$$
При этом $b+2\sqrt{c}>0$, т.к. дискриминант отрицательный.
С корнями четной кратности тоже проблем нету, а корни нечетной кратности все, как следует из условия, неположительны, поэтому и тут проблем не возникает. Осталось несколько раз применить тождество.
Да, из условий следует, что старший коэффициент положительный, поэтому можно считать его равным 1, а случай многочлена степени <1 тривиален

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group