2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение21.06.2010, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928

(Оффтоп)

Перепишу то, что выше написал, без слов "гладкое многообразие" и "расслоение".




Любой вектор $v\in\mathbb{R}^n$, приложенный к точке $A\in\mathbb{R}^n$, является вектором скорости $\gamma'(0)$ некоторой кривой $\gamma:(-1;1)\to\mathbb{R}^n$, для которой $\gamma(0)=A$.


Кривую можно "перенести" в $\mathbb{R}^m$ так: $f\circ\gamma:(-1;1)\to\mathbb{R}^m$
и вычислить $(f\circ\gamma)'(0)$ -- вектор, приложенный в точке $f(A)$

Таким образом мы построили отображение ${\rm d}f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m$ (первый множитель в прямом произведении -- множество точек, т.е. аффинное пространство, второй сомножитель - ассоциированное векторное)
$$
{\rm d }f(A,v)=\Bigl(f(A),(f\circ\gamma)'(0)\Bigr)
$$
(нетрудно доказать, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора $\gamma$)
Часто пишут $(f\circ\gamma)'(0)=({\rm d}f)_Av$ и называют это "дифференциал отображения $f$ в точке $A$"

То, что дифференциалом называют отображение, а не его значение, диктуется принципиальным удобством, выражающемся, например, в цепном правиле:
$$
{\rm d}(f\circ g)=({\rm d }f)\circ({\rm d}g),\quad\mbox{или}\quad {\rm d}(f\circ g)_A=({\rm d }f)_{g(A)}\circ({\rm d}g)_A.
$$
В конце концов $df$ -- это векторнозначная 1-форма, принимающая значения на векторных полях... она же производная по направлению, можно и точные 2-формы называть "производными в направлении бивекторов", но это извращение



Термин "производная" в многомерной ситуации встречается в виде "частной производной" и обобщающей ее "производной по направлению":
$$
\frac{\partial f}{\partial a}(A)=\frac{d}{dt}\Bigr|_{t=0}f(A+at).
$$
Но ведь это не что иное, как значение $({\rm d}f)_A(a)$!

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение22.06.2010, 05:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #333555 писал(а):
И да, я с радостью говорил бы "многочлен" в алгебре и "многочленная функция" в матанализе.

Ну раз уж дело дошло до лянгвизма. Тогда надо быть последовательным и говорить "синусоидальная функция", "косинусоидальная функция" и даже "тангенциальная функция"...

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение22.06.2010, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
ewert в сообщении #333639 писал(а):
Ну раз уж дело дошло до лянгвизма. Тогда надо быть последовательным и говорить "синусоидальная функция", "косинусоидальная функция" и даже "тангенциальная функция"...
А какой смысл синуса и косинуса вне контекста функции?

Ладно многочлен. Но с производящей функцией совсем плохо. Вот тут, говорю студентам, это функция, а тут это же не функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение22.06.2010, 10:11 


20/04/09
1067
наблюдение: наибольший флейм разгорается вокруг наименее значимых вопросов

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение22.06.2010, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
paha
Спасибо. Понятней стало.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение14.10.2023, 23:33 


11/05/23
2
meduza в сообщении #332962 писал(а):
caxap в сообщении #332951 писал(а):
нет ли какого-нибудь легкого введения, чтобы можно было "въехать в тему"

Просто, когда видите $df(x)h$, подразумевайте под этим $df(x,h)$.



Зорич сначала использует обозначение df(x)(h) = f'(x)h (стр 166)

а потом переходит на обозначение: df(x)h = f'(x)h (со страницы 171)

Почему он так делает не говоря об изменении способа обозначений?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциал и производная
Сообщение15.10.2023, 00:05 


22/11/22
440
Потому что дифференциал - линейный по $h$ оператор.
В курсе линейной алгебры (например) обычно рассказывают, что если оператор $A$ линеен, то обозначения $A(h)$ и $Ah$ эквивалентны, и чаще используется второе. Так что такая замена естественна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group