2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 17:32 


17/12/09
11
Не могу разобраться с этим методом. Вот пример:
$$4+9+14+...+(5n-1)=\frac {(n(5n+3)} 2$$
Для начала первое число (тоесть 4) приравнял к правой части, вместо $n$ подставил 1, посчитал и получилось тоже 4. Затем:
$$4+9+14+...+(5n-1)+5k= \frac {(k(5k+3)} 2 +5k$$
А вот дальше запутался!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 17:38 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Я бы просто проссуммировал как прогрессию, да ладно.
Делаете так. Пусть $F(n)$ - выражение для искомой суммы. Полагаете, что при $n$ утверждение верно. Теперь нужно доказать $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я бы даже просто проверил
$F(n+1)-F(n)=a_{n+1}$, что бывает немного проще для понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 18:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4518

(Оффтоп)

Можно даже $F(n+1)-F(n)-a_n=0$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 18:43 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Padawan в сообщении #329868 писал(а):

(Оффтоп)

Можно даже $F(n+1)-F(n)-a_n=0$ :-)

(Оффтоп)

Этого лучше не делать, ибо не получится :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
На самом деле. Очень многие испытывают трудности, когда начинают лепить формулу для $F(n+1)$
$F(n+1)-F(n)= \dfrac{(n+1)(5(n+1)+3)}2-\dfrac{n(5n+3)}2=...}$
Тут почти только прямые действия. А вот

$F(n)+a_{n+1}=\dfrac{n(5n+3)}2+5(n+1)-1=\dfrac{n(5n+3)+10(n+1)-2}2=$
$=\dfrac{5n^2+13n+8}2=...$
И чо? Поди догадайся.

Ну вот пусть топикстартер голову поломает, как тут дальше быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 19:23 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris в сообщении #329880 писал(а):
И чо? Поди догадайся.
Ну вот пусть топикстартер голову поломает, как тут дальше быть.

Не перегибайте, батенька :-)
Не нужно голову ломать, здесь нужно просто подгонять. $5n^2+13n+8=(n+1)(\dots)$, да и, вообще, не думаю, что кто-то бы не догодался бы квадратное выражение на линейные развалить...
Помимо этого: я сказал, что нужно проверить $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$. Как это делать, я не говорил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ох, батюшка мой, не перегибаю, вот уж истинно говорю Вам, не перегибаю ничуть. Сотру там формулки, а то заругают. Вот насчёт перемножить да подобные привести, это проходит, а подогнать... Тут-то непонятки и бывают.
А впрочем это всё так, само собой как-то раз и высказалось. А зачем и сам не пойму. Просто сам я завсегда вычитаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 19:43 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris
Ещё раз. Вы понимаете, что я с вами в противоречие не вхожу?
Я говорил:

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #329843 писал(а):
Теперь нужно доказать $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$.

Почему так записал? - дабы показать смысл индукционного шага. А дальше - как удобно, так крути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Да и я с Вами не вхожу в противоречие. Вы написали правильно, я просто немного шагнул вперёд, процитировав Ваши же формулы. Для Вас этот шажок тривиален, более того, Вы обойдётесь и без него. Но вот не все могут раскладывать на множители. И надо им показать явно путь, где нужно только скобки раскрывать. То есть как дальше удобнее крутить.
Собственно, Вы же сами сказали в соседней теме про целочисленные уравнения, что не всё надо понимать, а просто делать как сказано. Или не это. Но по крайней мере убедились, что не все могут понимать вещи, которые понятны Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение10.06.2010, 20:23 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Вот почитайте И.С. Соминский. Метод математической индукции., очень хорошая и полезная книга, но только надо немного терпения , разобрать пару примеров, попробавать решить несколько предложенных задач, и метод мат. индукции станет для вас очень естественным способом доказательства соответствующих утверждений.
А может вы сначала более простую задачу решите.(чтобы руку набить)
Ну например доказать для всех $\[
n \in \mathbb{N}
\]$ , что $\[
1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}
{2}
\]

$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение11.06.2010, 16:29 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток

(Оффтоп)

maxmatem в сообщении #329922 писал(а):
Вот почитайте И.С. Соминский. Метод математической индукции., очень хорошая и полезная книга, но только надо немного терпения , разобрать пару примеров, попробавать решить несколько предложенных задач, и метод мат. индукции станет для вас очень естественным способом доказательства соответствующих утверждений.
А может вы сначала более простую задачу решите.(чтобы руку набить)
Ну например доказать для всех $\[
n \in \mathbb{N}
\]$ , что $\[
1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}
{2}
\]

$

а можно так: что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $\underbrace{1 + \dots + 1}_n = n$ :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение11.06.2010, 16:53 


08/03/10
120
Цитата:
И чо? Поди догадайся.


Метод мат. индукции подразумевает, что, проверяя для n-ых членов прогрессии сумму, сумма (n+1)-ых членов будет иметь ту же формулу, только вместо n будет стоять n+1...

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод математической индукции
Сообщение11.06.2010, 19:06 


22/05/09

685
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group