2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что за числа? (полученные рекуррентным соотношением)
Сообщение09.06.2010, 08:06 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Здравствуйте.
Играя с натуральными числами в натуральных степенях я обнаружил числа, которые можно получить пользуясь рекурентным соотношением:
$G(n,k)=(k-1)\cdot G(n-1,k-1)+k\cdot G(n-1,k)$
и описания которых я не нашел в литературе.
Для сравнения:
$C^n_k=C^{n-1}_{k-1}+C^{n-1}_k$ - биномиальные коэффициенты,
$s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)\cdot s(n-1,k)$ - числа Стирлинга 1-го рода,
$S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)$ - числа Стирлинга 2-го рода.
Знакомы ли кому-нибудь эти числа? Каков их комбинаторный смысл?

P.S. Родство этих чисел с биномиальными коэффициентами и числами Стирлинга 2-го рода, а также некоторые их свойства я опишу позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за числа?
Сообщение09.06.2010, 08:33 


25/08/05
645
Україна
вычислите несколько последовательных чисел и затем поищите в базе целочисленных последовательностей

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за числа?
Сообщение09.06.2010, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну, это числа Стирлинга второго рода, умноженные на $k!$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за числа?
Сообщение11.06.2010, 15:54 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Натуральные степени натуральных чисел выражаются через биномиальные коэффициенты и числа Стирлинга $2$-го рода известной в комбинаторике формулой

$x^n=\sum\limits_{k=0}^{n} k!\ S(n,k)\left(\begin{array}{cc} x\\k \end{array}\right)$

Запишем треугольник Паскаля в "прямоугольном" виде

$\begin{array}{ccccccc}
&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&{4}&5&\ldots\\ \hline
1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&{0}&0&\ \\
2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&{0}&0&\ \\
3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&{0}&0&\ldots\\
4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&{1}&0&\ \\
5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&{4}&1&\ \\
\vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&{\ }&\vdots&{\ }&{\ }&\ddots
\end{array}$

Далее не будем различать ко- и контравариантные координаты.
Считая этот треугольник матрицей транспонируем его и рассмотрим вектор-столбцы. Тогда чтобы получить $k+1$-й столбец нужно подействовать на $k$-й столбец оператором матрица которого имеет вид

${A_1}=\left( \begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0&\ \\
1&1&0&0&0&\ \\
0&1&1&0&0&\ldots\\
0&0&1&1&0&\ \\
0&0&0&1&1&\ \\
\ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots
\end{array}\right)$

Тогда $k$-й столбец может быть получен из $1$-го орта $\vec{e}_1=(\ 1,\ 0,\ 0,\ \ldots\ )$ действием соответствующей степени оператора $A_1$

$\vec k={A}^{k-1}_1\vec{e}_1$

Всё сказанное без каких-либо изменений справедливо для $G$-чисел

$\begin{array}{ccccccc}
 &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5&\ldots\\ \hline
0&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\
1&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\
2&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&2&0&0&\ldots\\
3&\multicolumn{1}{|c}{1}&7&12&6&0&\ \\
4&\multicolumn{1}{|c}{1}&15&50&60&24&\ \\
\vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&{\ }&{\vdots}&{\ }&{\ }&\ddots
\end{array}$

с одной лишь поправкой - матрица их оператора имеет вид

${A_2}=\left( \begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0&\ \\
1&2&0&0&0&\ \\
0&2&3&0&0&\ldots\\
0&0&3&4&0&\ \\
0&0&0&4&5&\ \\
\ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots
\end{array}\right)$

Окончательно имеем

$x^y=\sum\limits_k C(x,k)\cdot G(y,k)$

или

$x^y=({A}^{x-1}_1\vec{e}_1,\ {A}^{y-1}_2 \vec{e}_1)$

Хорошо видно сходство матриц $A_1$ и $A_2$: каждая имеет лишь две ненулевые диагонали - главную и первую под ней. Также можно заметить, что ненулевые диагонали матрицы $A_1$ содержат первый столбец "прямоугольного" треугольника Паскаля, а ненулевые диагонали матрицы $A_2$ - его второй столбец. Пользуясь этим свойством можно построить подобные матрицы операторов из старших столбцов треугольника.
Значения скалярных произведений векторов из порождённых этими операторами множеств содержат, среди прочих, простые числа. Например

$\\
{A}^{4}_2\vec{e}_1=(1,\ 15,\ 50,\ 60,\ 24)\\
{A}^{2}_3\vec{e}_1=(1,\ 4,\ 3,\ 0,\ 0)$\\
({A}^{4}_2\vec{e}_1,\ {A}^{2}_3 \vec{e}_1)=211$\\$

где матрица $A_3$, построенная из третьего столбца треугольника Паскаля, имеет вид

${A_3}=\left( \begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0&\ \\
1&3&0&0&0&\ \\
0&3&6&0&0&\ldots\\
0&0&6&10&0&\ \\
0&0&0&10&15&\ \\
\ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots
\end{array}\right)$

Подобных примеров векторной факторизации простых чисел мне известно более ста.
В связи с этим, вызывают интерес два вопроса:
1. Любого ли вида простые числа могут быть представлены скалярными произведениями векторов принадлежащих указанным множествам,
2. Как распределены точки отвечающие простым числам в черырёхмерном пространстве, где координатами являются номера множеств и номера векторов - каждого в своём множестве (в приведённом примере числу $211$ отвечает точка с координатами $(2,\ 4,\ 3,\ 2)$ с точностью до перестановки координат).

P.S. Свойства и возможности $G$-чисел этим не ограничиваются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group