Геометрия пространства неевклидова?

[В. Войтик]

В. Войтик в сообщении #325664 писал(а):

если ввести такое конструктивное определение системы координат в неинерциальной системе отсчёта, то понятие системы координат и системы измерения времени будет таким же, как и для инерциальных систем отсчёта, а расстояние между точками пространства всегда имеет смысл даже для произвольной, нестационарной системы отсчёта. Некоторая система 4-координат для данной системы отсчёта в эйлеровском понимании (в отличие от лагранжевского) является особо выделенной. Такой системой координат является некоторая система координат (например декартова как особенно простая) мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта и физическое время системы отсчёта рассматриваемое в качестве мирового.

Хочу обратить внимание читающих, что практически вся вышеприведённая цитата (и особенно выделенное жирным шрифтом) является ересью с точки зрения стандартной теории.
Так в стандартном учебнике (ЛЛ т.2, пар. 84, с.305) пишется «Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчёта, в которых $g_{ik}$ не зависят от времени (т.е. в стационарных системах отсчёта, прим. моё) , и потому, интеграл $\int{dl}$ вдоль пространственной кривой имеет определённый смысл».
Далее. Все часы в произвольной нестационарной системе отсчёта по Эйлеру расположенные в различных местах её системы координат заранее синхронизированы и измеряют физическое время наблюдателя. Их показания однозначны. Местное физическое время нетрудно найти, если известна предыстория системы отсчёта (т.е. зависимость собственного ускорения и угловой скорости от времени). Однако там же читаем (с. 307) «Тем более оказывается невозможной однозначная синхронизация часов во всём пространстве. Исключение составляют лишь такие системы отсчёта, в которых все компоненты $g_{0\alpha}$ равны нулю».
Вот такое противоречие.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #325896 писал(а):

В. Войтик в сообщении #325664 писал(а):

если ввести такое конструктивное определение системы координат в неинерциальной системе отсчёта, то понятие системы координат и системы измерения времени будет таким же, как и для инерциальных систем отсчёта, а расстояние между точками пространства всегда имеет смысл даже для произвольной, нестационарной системы отсчёта. Некоторая система 4-координат для данной системы отсчёта в эйлеровском понимании (в отличие от лагранжевского) является особо выделенной. Такой системой координат является некоторая система координат (например декартова как особенно простая) мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта и физическое время системы отсчёта рассматриваемое в качестве мирового.

Хочу обратить внимание читающих, что практически вся вышеприведённая цитата (и особенно выделенное жирным шрифтом) является ересью с точки зрения стандартной теории.

Теория там изложена не то что даже стандартная. Просто утверждения как минимум достаточно четко сформулированы, виден их математический и физический смысл. Вы не хотите облегчить жизнь Вашим читателям и более подробно рассмотреть "конструктивное определение координат"? По-простому, без затей - на уровне ландафшица. Есть проблемы?

Например, покажите как можно было бы связать координаты Вашей системы отсчета с некоторой ИСО. Как конкретно подсчитать "расстояние между точками пространства" в вашем случае аж для произвольной, нестационарной системы отсчёта, дабы оно имело смысл.

Вот это также утверждение "Все часы в произвольной нестационарной системе отсчёта по Эйлеру расположенные в различных местах её системы координат заранее синхронизированы и измеряют физическое время наблюдателя. Их показания однозначны." - странно. Что значит "заранее синхронизированы"? У Вас есть магический способ "заранее синхронизировать" часы, находящиеся в разных точках пространства?

[В. Войтик]

Однако продолжим.
Итак, в системе отсчёта по Эйлеру в произвольно ускоренной системе отсчёта событие всегда возможно характеризовать декартовым вектором положения $r_{\alpha}$ в её системе координат и мировым временем $t$ когда оно произошло. Причём декартовы координаты события образуют собой обычный трёхмерный вектор, с которым можно выполнять обычные операции сложения и скалярного умножения двух векторов определённые на евклидовом пространстве и другие. Почему именно на евклидовом? Потому, что системой координат ускоренной системы отсчёта является система координат мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта, а она евклидова, т.е. по определению.
Так, например умножение вектора $r_{\alpha}$ на некоторую диаду (тензор второго ранга) $ c_{\alpha\beta} $ переводит его также в вектор
$x_{\beta} = r_{\alpha} c_{\alpha\beta}$
в том же самом векторном пространстве. То есть с новым вектором $x_{\beta}$ определены те же самые операции, которые определены со старым вектором $r_{\alpha}$ сложения, скалярного умножения и др. Возьмём теперь вместо некоторого тензора второго ранга конкретный тензор направляющих косинусов $ a_{\alpha\beta} $,
$r’_{\beta} = r_{\alpha} a_{\alpha\beta}$
Результат этой операции переводит вектор координаты $r_{\alpha}$ в ускоренной системе отсчёта в вектор координаты $r’_{\beta}$ в ускоренной и вращающейся системе отсчёта.
Сейчас ясно, что в 3-пространстве произвольной системы отсчёта понимаемой по Эйлеру определены те же самые операции сложения векторов, скалярного умножения векторов друг на друга и др.
Вызывает ли сейчас это у Вас какой-то протест?

[peregoudov]

myhand,
мне кажется, дело тут не в тензорах, а в магическом слове "неголономный"

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Преобразование (1),(2) разумеется голономное.

В. Войтик в сообщении #325664 писал(а):

Во-первых существуют люди (как правило это математики) которые не согласны с тем, что тензор Римана должен быть равен нулю. Они считают, что преобразование между системами отсчёта являются неголономными, т.е. между дифференциалами координат.

В. Войтик в сообщении #325703 писал(а):

В том то и дело, что у них нет преобразований координат, а есть преобразование дифференциалов координат.

Я, в общем, догадываюсь, о каких "математиках" тут идет речь. Только они, на мой взгляд, никакие не математики, а просто придурки. Если есть желание, можно потрясти автора темы на предмет "неголономности".

[В. Войтик]

myhand в сообщении #325903 писал(а):

... Вы не хотите облегчить жизнь Вашим читателям и более подробно рассмотреть "конструктивное определение координат"? По-простому, без затей - на уровне ландафшица. Есть проблемы?
Например, покажите как можно было бы связать координаты Вашей системы отсчета с некоторой ИСО.

Правильно ли я Вас понял? Вы просите показать преобразование координат события из лабораторной инерциальной системы отсчёта в произвольную неинерциальную систему отсчёта? Я это могу сделать, но давайте попозже, после того, что я хочу сказать, хорошо? Просто это увлечёт тему несколько в сторону.

Цитата:

Как конкретно подсчитать "расстояние между точками пространства" в вашем случае аж для произвольной, нестационарной системы отсчёта, дабы оно имело смысл.

В общем-то очень просто, учитывая, что все действия между 3-векторами определены на евклидовом пространстве. Пусть координата точки А есть $r_{A\alpha}$, координата точки В есть $r_{B\alpha}$. Расстоянием назовём (условно)
$AB=r_{B\alpha}-r_{A\alpha}$.
Напомню, что это расстояние определяется с точки зрения единственного наблюдателя эйлеровской системы отсчёта, который находится в начале отсчёта Я вовсе не утверждаю, что это расстояние останется таким же, если наблюдатель перейдёт в точку А (или В).

Цитата:

Вот это также утверждение "Все часы в произвольной нестационарной системе отсчёта по Эйлеру расположенные в различных местах её системы координат заранее синхронизированы и измеряют физическое время наблюдателя. Их показания однозначны." - странно. Что значит "заранее синхронизированы"? У Вас есть магический способ "заранее синхронизировать" часы, находящиеся в разных точках пространства?

Я это раньше говорил, объясню другими словами. Наблюдатель в ускоренной системе отсчёта пользуется часами мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта, которые уже синхронизированы (по всему пространству) друг с другом и часами наблюдателя. Ему не нужно синхронизировать часы.

-- Пн май 31, 2010 16:58:04 --

peregoudov в сообщении #325908 писал(а):

Я, в общем, догадываюсь, о каких "математиках" тут идет речь. Только они, на мой взгляд, никакие не математики, а просто придурки.

Дмитрий давайте не будем обзываться. У каждого человека свои представления о предмете. Не нужно рушить иллюзии.

[kkdil]

myhand в сообщении #325646 писал(а):

Собственно, обозначения в статье, в частности определение тензора кривизны через аффинную связность - лишний раз демонстрируют эту самую независимость от выбранных координат, о которой я писал выше.

Да при наличии подобной связности.

myhand в сообщении #325646 писал(а):

Определение вполне "бескоординатное".

Да, но с некоторыми дополнительными условиями. Т.е. с определенной метрикой пространства. Как я это понимаю :)

myhand в сообщении #325646 писал(а):

Ну, ежели пространство не плоское - совершенно необязательно, что возможно.

Конечно необязательно. Но в первую очередь нас интересует гравитация. А в этом случае вроде пробелем нет.

[myhand]

kkdil в сообщении #325959 писал(а):

Конечно необязательно. Но в первую очередь нас интересует гравитация. А в этом случае вроде пробелем нет.

Т.е. как раз в этом случае и будем наблюдать проблемы с параллельным переносом. Переносим вектор по замкнутому пути в исходную точку - и оппа, получаем не нуль (кривизна-с). Причем от выбора координат это не зависит.

Это в случае топикстартера (тензор Римана равен нулю) - получится нуль, а не в случае гравитации. Причем мне как-то не приходит на ум пример системы координат в пространстве Минковского, где вектор постоянен при параллельном переносе между разными точками (ну, кроме тривиальных примеров координат, в которых метрика постоянна). Вы знаете такой пример?

В. Войтик в сообщении #325911 писал(а):

myhand в сообщении #325903 писал(а):

... Вы не хотите облегчить жизнь Вашим читателям и более подробно рассмотреть "конструктивное определение координат"? По-простому, без затей - на уровне ландафшица. Есть проблемы?
Например, покажите как можно было бы связать координаты Вашей системы отсчета с некоторой ИСО.

Правильно ли я Вас понял? Вы просите показать преобразование координат события из лабораторной инерциальной системы отсчёта в произвольную неинерциальную систему отсчёта? Я это могу сделать, но давайте попозже, после того, что я хочу сказать, хорошо? Просто это увлечёт тему несколько в сторону.

Конечно, как Вам удобно. Просто есть некоторое ощущение, что содержательную часть Вашего утверждения пока не понял никто.

В. Войтик в сообщении #325911 писал(а):

Цитата:

Как конкретно подсчитать "расстояние между точками пространства" в вашем случае аж для произвольной, нестационарной системы отсчёта, дабы оно имело смысл.

В общем-то очень просто, учитывая, что все действия между 3-векторами определены на евклидовом пространстве. Пусть координата точки А есть $r_{A\alpha}$, координата точки В есть $r_{B\alpha}$. Расстоянием назовём (условно)
$AB=r_{B\alpha}-r_{A\alpha}$.

Было пространство Минковского - бац, появилось какое-то евклидово пространство... Вот, собственно, почему я и сослался на ландавшица - все прозрачно. Ежели говорится про трехмерное пространство - показывают, откуда оно появилось, приводят метрику etc.

В. Войтик в сообщении #325911 писал(а):

Я это раньше говорил, объясню другими словами. Наблюдатель в ускоренной системе отсчёта пользуется часами мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта, которые уже синхронизированы (по всему пространству) друг с другом и часами наблюдателя. Ему не нужно синхронизировать часы.

В ускоренной системе отсчета разным точкам соответствуют разные мгновенно сопутствующие ИСО. Наивный вопрос - как синхронизируются такие ИСО?

[Шимпанзе]

myhand в сообщении #325971 писал(а):

Наивный вопрос - как синхронизируются такие ИСО?

О!!! Этот вопрос у него не вопрос уже несколько лет....

[В. Войтик]

myhand в сообщении #325971 писал(а):

Просто есть некоторое ощущение, что содержательную часть Вашего утверждения пока не понял никто.

Я хочу сказать, что событие в любой системе отсчёта по Эйлеру (и даже в нестационарной) можно характеризовать вектором декартовой координаты и мировым временем отсчитываемым по шкале физического времени наблюдателя. При этом можно условно ввести понятие расстояния (относительно наблюдателя) между точками декартовой 3-системы координат в виде разности их радиус- векторов. Данное расстояние является относительным, т.е. зависит от положения наблюдателя в этой системе координат.
Если что-то Вам непонятно задавайте вопросы.

Цитата:

В. Войтик в сообщении #325911 писал(а):

Цитата:

Как конкретно подсчитать "расстояние между точками пространства" в вашем случае аж для произвольной, нестационарной системы отсчёта, дабы оно имело смысл.

В общем-то очень просто, учитывая, что все действия между 3-векторами определены на евклидовом пространстве. Пусть координата точки А есть $r_{A\alpha}$, координата точки В есть $r_{B\alpha}$. Расстоянием назовём (условно)
$AB=r_{B\alpha}-r_{A\alpha}$.

Было пространство Минковского - бац, появилось какое-то евклидово пространство...

Так я объяснил откуда оно появилось. Это результат использования в нестатической системе отсчёта системы координат мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта.

Цитата:

Вот, собственно, почему я и сослался на ландавшица - все прозрачно. Ежели говорится про трехмерное пространство - показывают, откуда оно появилось, приводят метрику etc.

Хорошо. Определим квадрат дифференциала интервала взятый с отрицательным знаком вдоль гиперповерхности постоянного мирового времени как квадрат дифференциала расстояния.
$-ds^2=dl^2$ при $dt=0$.
Почему именно так? По определению . Мы так условились.
Вот у меня есть сильное подозрение, что Вам это определение не понравится. Ну хорошо, тогда называйте это не дифференциалом расстояния, а дифференциалом "расстояния". Поскольку физическое местное время в каждой точке системы координат первоначальной системы отсчёта по Эйлеру своё, то из определения ясно, что это "расстояние" является относительным, т.е. зависит от положения наблюдателя в системе координат первоначальной системы отсчёта.
Зачем оно вообще нужно? В частности из соображений удобства (но это не единственная причина). Наблюдателю удобно пользоваться векторной алгеброй.

Цитата:

В ускоренной системе отсчета разным точкам соответствуют разные мгновенно сопутствующие ИСО. Наивный вопрос - как синхронизируются такие ИСО?

Чего-то я вообще перестал Вас понимать.
То есть Вы хотите сказать, что наблюдатель в ускоренной системе отсчёта обнаружит, что разные точки её системы координат движутся относительно него?

[Алия87]

myhand в сообщении #325971 писал(а):

В ускоренной системе отсчета разным точкам соответствуют разные мгновенно сопутствующие ИСО.

К жёсткой УСО существует на любой момент времени МСИСО относительно которой любая (все) точки данной УСО мгновенно одновременно по часам МСИСО покоятся (имеют одновременно нулевую скорость относительно МСИСО). То есть, к жёсткой УСО существует (найдётся) МСИСО ко всем её (УСО) точкам. Величина ускорения каждой отдельной точки жёсткой УСО относительно МСИСО есть величина постоянная, но сами величины для разных точек (вдоль оси Х ) для жёсткой УСО различны. Я здесь (на этом форуме) решала задачу о жёстком ускоренном стержне, к которому существует МСИСО ко все его точкам одновременно (МСИСО ко всему стержню). http://dxdy.ru/post181361.html#p181361
Тогда были ещё epros, Munin. Такой жёсткий стержень может являться линейкой жёсткой УСО.

[В. Войтик]

Алия87 в сообщении #326200 писал(а):

К жёсткой УСО существует на любой момент времени МСИСО относительно которой любая (все) точки данной УСО мгновенно одновременно по часам МСИСО покоятся (имеют одновременно нулевую скорость относительно МСИСО). То есть, к жёсткой УСО существует (найдётся) МСИСО ко всем её (УСО) точкам.

Правильно Алия . Спасибо.

[В. Войтик]

Продолжаем разговор. Может показаться, что я сейчас уклонюсь от темы. Я вскоре объясню.
Итак системы отсчёта по Эйлеру могут отличаться друг от друга целым рядом характеристик, например скоростью относительного движения, собственным ускорением, собственной угловой скоростью и другими характеристиками. Одной из таких характеристик для системы отсчёта находящейся на вращающемся жёстко относительно некоторой "покоящейся" инерциальной системы отсчёта диске является, например расстояние до оси вращения. Собственных характеристик эйлеровских систем отсчёта однако насчитывается всего две - собственное ускорение и собственная угловая скорость. Можно поэтому сделать утверждение, что
уравнение движения любого физического процесса в любых возможных системах отсчёта в стандартных для этой системы отсчёта координатах и времени имеет одинаковый вид. Возможные отличия этих уравнений движения друг от друга связаны только отличием их собственных характеристик: собственного ускорения и собственной угловой скорости как функций времени системы отсчёта.
Например движение свободной пробной частицы в произвольной эйлеровской системе отсчёта подчиняется некоторому дифференциальному уравнению (которое я не вижу смысла выписывать) в которое входит только собственное ускорение $W$(t) и собственная угловая скорость системы $\Omega$(t). Значит и его решение является некоторым функционалом от $W$(t) и $\Omega$(t)
Вот этот вывод о том, что решение есть некоторый функционал (или функция) от $W$(t) и $\Omega$(t) мы обобщаем вообще на любую физическую величину рассматриваемую относительно разных систем отсчёта. (Надеюсь я понятно выразился.) Это утверждение, чтобы подчеркнуть его значимость я назвал принципом общей форминвариантности (точнее то, что выше сказано есть его понимание в широком смысле).
Данное утверждение кажется очевидным. Умозрительно однако вполне возможна другая ситуация когда существовала бы некая абсолютная система отсчёта. В такой системе отсчёта законы физики были бы наиболее просты, тогда как другие системы отсчёта отличались бы друг от друга скоростью относительно выделенной абсолютной системы отсчёта и в уравнения движения рассматриваемой величины входила бы скорость системы отсчёта или другие несобственные характеристики систем отсчёта. Тогда принцип общей форминвариантности был бы невозможен.
Не скрою, мне очень хочется, чтобы вы все сейчас прокомментировали этот принцип и со мной в этом согласились. Дело в том, что то, что я сейчас выше сказал есть ключевой пункт для дальнейшего. И если вы будете не согласны в этом, то тогда я вообще зря начал эту тему.... .

[myhand]

Алия87 в сообщении #326200 писал(а):

myhand в сообщении #325971 писал(а):

В ускоренной системе отсчета разным точкам соответствуют разные мгновенно сопутствующие ИСО.

К жёсткой УСО существует на любой момент времени МСИСО относительно которой любая (все) точки данной УСО мгновенно одновременно по часам МСИСО покоятся (имеют одновременно нулевую скорость относительно МСИСО). То есть, к жёсткой УСО существует (найдётся) МСИСО ко всем её (УСО) точкам. Величина ускорения каждой отдельной точки жёсткой УСО относительно МСИСО есть величина постоянная, но сами величины для разных точек (вдоль оси Х ) для жёсткой УСО различны. Я здесь (на этом форуме) решала задачу о жёстком ускоренном стержне, к которому существует МСИСО ко все его точкам одновременно (МСИСО ко всему стержню). http://dxdy.ru/post181361.html#p181361
Тогда были ещё epros, Munin. Такой жёсткий стержень может являться линейкой жёсткой УСО.

Во-первых. Там рассмотрена не ускоренная система отсчета, т.е. совершенно произвольная неинерциальная система отсчета (НСО) в СТО - а нечто совершенно конкретное. Весьма частный и специфический случай. Может быть он и имелся в виду В. Войтик'ом?

В. Войтик в сообщении #326184 писал(а):

Цитата:

В ускоренной системе отсчета разным точкам соответствуют разные мгновенно сопутствующие ИСО. Наивный вопрос - как синхронизируются такие ИСО?

Чего-то я вообще перестал Вас понимать.
То есть Вы хотите сказать, что наблюдатель в ускоренной системе отсчёта обнаружит, что разные точки её системы координат движутся относительно него?

Я воспринял Вашу "ускоренную систему отсчета" - как совершенно произвольную в общем-то НСО.

Давайте попробуем разобраться. Может быть вы определяете ускоренную систему отсчета следующим образом. Есть мировая линия произвольно ускоренного наблюдателя. Наблюдатель (1) находится в точке $x=y=z=0$ нашей системы отсчета и "время" в ней меряем его собственным временем $t$. (2) Гиперплоскости одновременных событий совпадают с гиперплоскостями МСИСО ему в данный момент $t$. (3) Остальные наблюдатели со стационарными координатами ($x,y,z=const$) - движутся так, что всегда покоятся относительно наблюдателя на гиперплоскостях одновременных событий $t=const$.

Этот пример, ИМХО, больше оправдывает название системы отсчета по Лагранжу. И такая конструкция определенно имеет смысл в СТО (и только!), пример - координаты Риндлера. Единственное но - как правило, Вы получите горизонт событий. Т.е. система координат охватит только часть пространства-времени.

[kkdil]

myhand в сообщении #325971 писал(а):

kkdil в сообщении #325959 писал(а):

Конечно необязательно. Но в первую очередь нас интересует гравитация. А в этом случае вроде пробелем нет.

Т.е. как раз в этом случае и будем наблюдать проблемы с параллельным переносом. Переносим вектор по замкнутому пути в исходную точку - и оппа, получаем не нуль (кривизна-с). Причем от выбора координат это не зависит.

Это в случае топикстартера (тензор Римана равен нулю) - получится нуль

Пардон, но топикстартера я не совсем не понял.

myhand в сообщении #325971 писал(а):

, а не в случае гравитации. Причем мне как-то не приходит на ум пример системы координат в пространстве Минковского, где вектор постоянен при параллельном переносе между разными точками (ну, кроме тривиальных примеров координат, в которых метрика постоянна). Вы знаете такой пример?

Так гравитация и есть пример, если слова правильные написать :)

"Переносим вектор по замкнутому пути в исходную точку - и оппа, получаем не нуль (кривизна-с)." Но поскольку эту кривизну мы определили, то можем переносить вектор с корректирующей поправкой. На чем и стоит, имхо, полевой вариант ОТО. Т.е. речь идет о рассмотрении плоского пространства и эффективного. И мне показалось естесственным связать системы координат для обоих рассмотрений. Криволинейными координатами часто называют неортогональные, но прямолинейные, я же имел ввиду "кривую сетку".

[myhand]

kkdil в сообщении #326304 писал(а):

Пардон, но топикстартера я не совсем не понял.

Ну ничего, он обещал объяснить по-подробнее. Пристраивайтесь в очередь за пояснениями...

kkdil в сообщении #326304 писал(а):

"Переносим вектор по замкнутому пути в исходную точку - и оппа, получаем не нуль (кривизна-с)." (1) Но поскольку эту кривизну мы определили, то можем переносить вектор с корректирующей поправкой. На чем и стоит, имхо, (2) полевой вариант ОТО. Т.е. речь идет о рассмотрении плоского пространства и эффективного.

1) Интересно, от "векторности" "вектора" после этого что-то останется? Напоминаю, тензоры (вектора в частности) определяются по тому как их компоненты преобразуются при смене координат.
2) Полевой вариант это логуновская РТГ что-ли - ее разве не закопали лет 20 назад (см. статью Зельдовича и Грищука в УФН, т.155, вып.3)?