Уравнение с параметром(проверьте)

[maxmatem]

Добрый вечер.Решить уравнение при всех значениях параметра $a$. $\[ \lg (ax) = 2\lg (x + 1) \]$

Вот моё решение.
$\[ \begin{gathered} \lg (ax) = \lg (x + 1)^2 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} ax = (x + 1)^2 \,\, \hfill \\ (x + 1)^2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \] $
Рассмотрим первое уравнение в системе
$\[ x^2 + x(2 - a) + 1 = 0 \] $ решим его
1.
$\[ D = a^2 - 4a < 0,\,\,\,\,\,a \in (0;4) \] $ тогда решений нет.
2.
$\[ D = a^2 - 4a = 0,\,\,\,\,\,\left( {a = 0} \right) \vee (a = 4) \]$ тогда корень один , а именно
$\[ x = \frac{{a - 2}} {2} \]$
3.
$\[ \begin{gathered} D = a^2 - 4 > 0,\,\,\,\,\,a \in ( - \infty ;0) \cup (4;\infty ) \hfill \\ x_{1,2} = \frac{{a - 2 \pm \sqrt {a^2 - 4a} }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]$
Ответ:$\[ \left[ \begin{gathered} a \in (0;4) \Rightarrow \emptyset \hfill \\ \left( {a = 0} \right) \vee \left( {a = 4} \right) \Rightarrow x = \frac{{a - 2}} {2} \hfill \\ a \in ( - \infty ;0) \cup (4;\infty ) \Rightarrow x_{1,2} = \frac{{a - 2 \pm \sqrt {a^2 - 4a} }} {2} \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $

Проверьте пожалуйста.

[Niclax]

При а=0 решений не существует!

[Sasha2]

Вот система, которая эквивалентна исходной:
$ax > 0$
$x+1 > 0$
$ax=(x+1)^2$
От нее и отталкивайтесь.

[Алексей К.]

Я вот оттолкнулся, и увидел ошибку.
Причём я отталкивался графически, чего и Вам, maxmatem, советую: у Вас параметр и неизвестную можно на плоскости $(x,y\!\!\!{-}a)$ изобразить.
Кстати, случай $a=4$ вряд ли стоит выделять особо, он вписывается в $x_{1,2}=\ldots$ как $x_1=x_2$.

[Sasha2]

Там действительно из дискриминанта видно, что ОДЗ для параметра $a$ - это $a<0$ и $a \ge 4$.
При этом на этих промежутках корни одного и того же знака (теореа Виета).
Ну и нетрудно установить, сравнив по модулю $a-2$ и $\sqrt{a^2-4a}$, что знаки корней как раз будут те, которые и нужны.
То есть уранение имеет решение при $a<0$ и $a \ge 4$.
Оба корня подходят и находятся путем стандартного решения квадратного уравнения.

[Алексей К.]

Sasha2 в сообщении #323807 писал(а):

То есть уранение имеет решение при $a<0$ и $a \ge 4$.
Оба корня подходят и находятся путем стандартного решения квадратного уравнения.

Да? Разве при $a=-\frac{16}5$ корень $x_1=-5$ подходит?

-- 25 май 2010, 18:06 --

Алексей К. в сообщении #323793 писал(а):

Я вот оттолкнулся, и увидел ошибку.

Не у Вас, Sasha2, у автора в решении. У Вас, естессно, было правильно.

[Sasha2]

Да вообще то Вы правы, забыл еще одно ограничение на то, что $x > -1$.
То есть для отрицательных $a$ решения берем только из условий:
$(a-2-\sqrt{a^2-4})/2 > -1$ и $(a-2+\sqrt{a^2-4})/2 > -1$

[Алексей К.]

Нет. То есть да, но, насколько я помню картинку, которую набросал на работе, это записывается гораздо проще и явно: $x_{_{a<0}}=\ldots$.
Всё же финальный аккорд в этом деле я хотел бы оставить автору. Тем более, что он вроде как с неким удовольствием решает задачки.