Сепарабельность и полнота

[trivium]

Вот такие радости:
2.1 Докажите, что множество $A$ плотно в множестве $B$ (в естественной топологии на прямой):
$A = ${$\sin n : n \in Z $}
$B = [-1, 1]$

2.2 Доказать сепарабельность пространства $X$:
a) $X = L^1[0,1]$
б) $X = C^m[0,1]$, $||x||= \sum\limits_{k=0}^m max_{[0,1]} |x^{(k)}(t)| $

2.3 Исследуйте на сепарабельность следующие нормированные пространства:
$CB(R) = ${$x \in C(R):\exists b_x > 0 : |x(t)|\leqslant b_x \forall t \in R $}


3.1 Докажите полноту следующих и нормированных пространств X:
а)$X = C^m[a,b] , p(x,y)= \sum\limits_{k=0}^m max_{[a,b]} |x^{(k)}(t)-y^{(j)}(t)|$
б) $X=c_0, ||x|| = max_{k=1}^{\inf} |\xi_k|, x=(\xi_k) $

3.2 Докажите, что следующие МП $(X , \rho)$ не являются полными. Постройте их пополнения:
a) $X = C[0,1], \rho(x,y) = \int_0^{1} |x(t)-y(t)|dt $
б) $X = Z, \rho(x,y) = |e^{ix}-e^{iy}| $

С первым разобрался.

2.2 Насколько понял, в обоих случаях можно рассмотреть мн-во полиномов с рациональными коэф-ми?

3.2 а) последовательность $(x_n)$ ? Вроде поточечный предел не попадает в множество.

[gris]

И что, никаких идей?
В первой задаче я бы показал плотность на тригонометрическом круге точек, соответствующим целым углам. Из иррациональности $2\pi$ хотя бы.
Во второй, наоборот, строил бы примеры с рациональными коэффициентами.

[Toucan]

До появления идей тема едет в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться, приведите свои попытки решения задач.

После того, как исправите сообщение, напишите в Сообщение в карантине исправлено, чтобы кто-нибудь из модераторов вернул Вашу тему в учебный раздел.