Вот такие радости:
2.1 Докажите, что множество

плотно в множестве

(в естественной топологии на прямой):

{

}
![$B = [-1, 1]$ $B = [-1, 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/b/83b778ff51d84e802aaaf3814cefe2f482.png)
2.2 Доказать сепарабельность пространства

:
a)
![$X = L^1[0,1]$ $X = L^1[0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/568ce4fdffb7c135c422d3a2fc138fb282.png)
б)
![$X = C^m[0,1]$ $X = C^m[0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/3/52390edbf118e51e30675ee6734fc11682.png)
,
![$||x||= \sum\limits_{k=0}^m max_{[0,1]} |x^{(k)}(t)| $ $||x||= \sum\limits_{k=0}^m max_{[0,1]} |x^{(k)}(t)| $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/9/cf916fb4bbb74eacc265efe4d067014b82.png)
2.3 Исследуйте на сепарабельность следующие нормированные пространства:

{

}
3.1 Докажите полноту следующих и нормированных пространств X:
а)
![$X = C^m[a,b] , p(x,y)= \sum\limits_{k=0}^m max_{[a,b]} |x^{(k)}(t)-y^{(j)}(t)|$ $X = C^m[a,b] , p(x,y)= \sum\limits_{k=0}^m max_{[a,b]} |x^{(k)}(t)-y^{(j)}(t)|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/3/dd303e1de3081b8396b46a6c3c40540782.png)
б)

3.2 Докажите, что следующие МП

не являются полными. Постройте их пополнения:
a)
![$X = C[0,1], \rho(x,y) = \int_0^{1} |x(t)-y(t)|dt $ $X = C[0,1], \rho(x,y) = \int_0^{1} |x(t)-y(t)|dt $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/d/c8d1f7f6eaed5981fb9f4e0c55c1460b82.png)
б)

С первым разобрался.
2.2 Насколько понял, в обоих случаях можно рассмотреть мн-во полиномов с рациональными коэф-ми?
3.2 а) последовательность

? Вроде поточечный предел не попадает в множество.