площадь поверхности

[patriarch]

Найти площадь части поверхности $(x^2)/a - (y^2)/b = 2z$
вырезанной поверхностью $(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1$ $z>=0$

вроде понятно что надо использовать формулу из Демидовича для случая параметрического задания поверхности.
Но как ее использовать, и как узнать что будет за поверхность?

[ИСН]

Параметрического задания? Откуда, почему, за что?

[patriarch]

ИСН
а как ещё? нужно использовать формулу для явного задания поверхности?

[vvvv]

Вам нужно найти площадь, залитую желтым цветом.Точнее половину, затем умножить на два

[patriarch]

вобщем я применил формулу для явного задания.

вышло вот что $\iint_S\sqrt(1+(x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2)))dxdy $

где S это поверхность $(x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) = 1$

применяем замену полярную $x=arcos\alpha$ $y=brsin\alpha$

получаем $\iint_S\sqrt(1+r^2)drd\alpha $

сводим к повторному

$$ab\int_{0}^{2Pi} d/alpha\int_{0}^{1} sqrt(1+r^2)dr$$

собственно если его дальше считать то результат будет далек от ответа.Потому вопрос что я сделал не так?

[gris]

А если $a$ и $b$ разных знаков?

[ewert]

Во-первых, якобиан потерялся. Во-вторых, пределы интегрирования вовсе не такие (в частности, внутренний -- не постоянен, да и углы -- не все).

[patriarch]

ewert
так давайте по порядку. внешние пределы от $$-Pi/2 до $Pi/2$

внутренний предел от $0$ до $1/2 arccos(1/r^2)$
Якобиан вроде $abr$

каких углов нету?

[ewert]

patriarch в сообщении #320136 писал(а):

внешние пределы от $$-Pi/2 до $Pi/2$

Нет. Прямые, определяющие угловые пределы, получаются подстановкой $z=0$ в уравнение поверхности. Там $a$ и $b$ не сократятся.

patriarch в сообщении #320136 писал(а):

внутренний предел от $0$ до $1/2 arccos(1/r^2)$

Это мало того что неверно -- так просто не бывает. Внутренний-то предел -- он для радиуса, а не для угла.

patriarch в сообщении #320136 писал(а):

Якобиан вроде $abr$

Это да.

[patriarch]

ewert
ладно внешний предел от $0$ до $arctg(sqrt(b/a))$

а внутренний если сюда $(x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) = 1$ подставим замену и найдем r то будет 1.

или я опять чегото не понял?

[ewert]

patriarch в сообщении #320150 писал(а):

ладно внешний предел от $0$ до $arctg(sqrt(b/a))$

Только наоборот -- а на бэ.

patriarch в сообщении #320150 писал(а):

а внутренний если сюда $(x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) = 1$ подставим замену и найдем r то будет 1.

Если так -- то да. Только вначале условие было другим.

[patriarch]

за опечатку извиняюсь.То есть интеграл будет таким?

$$ab\int_{0}^{arctg(sqrt(a/b))} dalpha\int_{0}^{1} rsqrt(1+r^2)dr$$

[ewert]

Откуда я знаю?... Определитесь со знаком -- плюс (как сейчас) или минус (как в исходном условии).

[patriarch]

ewert
в условии плюс.просто я не могу первый пост поправить.
я считаю этот интеграл и получаю
$(ab/3) arctg(sqrt(a/b))(2sqrt(2)-1)$
а ответ в 4 раза больше...

[ewert]

patriarch в сообщении #320165 писал(а):

а ответ в 4 раза больше...

Естественно. Посмотрите на картинку. Она, правда, для минуса, но суть дела от этого не меняется.