2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение05.05.2010, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):
Например, Васильев "Теорема Абеля в задачах".
Не Васильев, а Алексеев

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение05.05.2010, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Vvp_57 в сообщении #315932 писал(а):
Можно взяться за числа $\frac{17}{2}$,$\frac{41}{2}$.
$a=3n^2+3n+5/2$, $s=12n^2+12n+8$, $v=12n^2+12n+9-(4n+2)\sqrt3$, $n\ge-1/2$,
$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt3}2\,x^2-\frac{6n^2+6n+6-(2n+1)\sqrt3}2\,x-\frac{6n^2+6n+1-(12n^3+18n^2+16n+5)\sqrt3}4=0.$$

Vvp_57 в сообщении #315932 почти писал(а):
$E=\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+...}}}}}}}$
$D=\sqrt{86+2\sqrt{69+2\sqrt{86+2\sqrt{69+...}}}}$
$C=\sqrt{69+2\sqrt{86-2\sqrt{69+2\sqrt{86-...}}}}$
$2E=D=C+1$
(поправил очевидную опечатку)
$$E=\sqrt{n^2+n+2+\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2+\ldots}}}}\,,$$
$$D=\sqrt{4n^2+4n+6+2\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6+\ldots}}}\,,$$
$$C=\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6-2\sqrt{4n^2+5+\ldots}}}\,,$$
$$x^3-2(n+1)x^2-4(n^2+2)x+8(n^3+n^2+2n+1)=0.$$

(Оффтоп)

Как же Вы придумываете все эти равенства? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение05.05.2010, 22:19 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):
Цитата:
У меня и образования то нет(математического).
Был такой математик - Рамануджан. Он такие примеры щёлкал как орешки без всякого образования - чисто интуитивно.

Так с него у меня все и началось. Как увидел формулу:
$\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+...}}}...}}}}}=1+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{9} \right)$
Так сразу и понял, все, пропал. Интуиция У Раманyджана была просто жуткая! Что то он для себя в числах то открыл, а вот что? А радикалы трехтактные теперь для себя называю рамануджановскими.

-- Ср май 05, 2010 23:25:18 --

мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):
Цитата:
У меня и образования то нет(математического). Хотя очень бы хотелось узнать побольше про все эти группы, кольца, поля. Только в книгах так пишут что, совершенно ничего непонятно. Особенно потому что реальных примеров то и нет.

Есть книги с примерами и упражнениями не слишком нудно написанные. Например, Васильев "Теорема Абеля в задачах".

Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение05.05.2010, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):
Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.
Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение06.05.2010, 05:23 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
RIP в сообщении #315986 писал(а):
$a=3n^2+3n+5/2$, $s=12n^2+12n+8$, $v=12n^2+12n+9-(4n+2)\sqrt3$, $n\ge-1/2$,
$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt3}2\,x^2-\frac{6n^2+6n+6-(2n+1)\sqrt3}2\,x-\frac{6n^2+6n+1-(12n^3+18n^2+16n+5)\sqrt3}4=0.$$

$$E=\sqrt{n^2+n+2+\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2+\ldots}}}}\,,$$
$$D=\sqrt{4n^2+4n+6+2\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6+\ldots}}}\,,$$
$$x^3-2(n+1)x^2-4(n^2+2)x+8(n^3+n^2+2n+1)=0.$$

Сдаюсь...Вы открыли все тайны. От моего "форпоста" ничего неосталось.Примите мои поздравления!
И чтоб хоть как то реабилитироваться, спрошу на засыпку, а что будет если поменять знаки в формуле:
$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-....}}}}}}=?$
где $a$, как Вы совершенно точно нашли равно $n^2+n+2$

(Оффтоп)

Теперь и Вы можете придумывать, сколько угодно таких
равенств. Постараюсь в следующем вопросе чуть приоткрыть
маленькую тайну этих веселых упрощений. Прямо расписать
все не могу. Тут много причин. Ведь Рамануджан, тоже
многое скрыл в своих радикалах. Поскольку загадка, есть
движущая сила. Удачи Вам. Ваши ответы ОЧЕНЬ порадовали
меня. Спасибо.|

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение06.05.2010, 08:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Кстати, все написанные выше формулы на самом деле совпадают :|, их можно переписать в более простой форме: $a=d+7/4$, $s=4d+5$, $v=4d+6-4\sqrt d$. Все три выражения
$$2\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}=\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v+2\sqrt{s-\ldots}}}}+1$$
равны наибольшему корню уравнения
$$x^3-\bigl(1+2\sqrt d\,\bigr)x^2-\bigl(4d+9-4\sqrt d\,\bigr)x-4d+1+(8d+14)\sqrt d=0.$$
Надо только аккуратно определить радикалы с минусами при малых значениях $d$. Первый радикал можно определить как предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-r_n}}}$ (при любых $d\ge0$). С последним радикалом ситуация немного сложнее. Его логично определить как $\sqrt{v+2r}$, где $r$ --- предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{s-2\sqrt{v+2r_n}}$. Чтобы обеспечить сущ-вование предела, потребуем, чтобы $s>2\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v}}}$, т.е. $d>0.061601734441661\ldots$ (последнее число есть квадрат корня многочлена 12-й степени, который мне не хочется выписывать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение06.05.2010, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
А если поменять знаки, то, очевидно, формулы примут вид: $a=d+7/4$, $s=4d+5$, $v=4d+6+4\sqrt d$,
$$2\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}=\sqrt{v-2\sqrt{s-2\sqrt{v-2\sqrt{s-\ldots}}}}+1,$$
$$x^3-\bigl(1-2\sqrt d\,\bigr)x^2-\bigl(4d+9+4\sqrt d\,\bigr)x-4d+1-(8d+14)\sqrt d=0.$$

Первый радикал определяем как $\sqrt{a+\sqrt{a+r}}$, где $r$ --- предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+r_n}}}$. Условие на $d$ довольно мрачное:
$$a>\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a}}}}},$$
т.е. $d>0.0228929\ldots$ (последнее число есть корень многочлена страшного многочлена 27-й степени).

Третий радикал определяем как предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{v-2\sqrt{s-2r_n}}$. Тогда он определён при любом $d\ge0$, но равенство будет выполнено лишь при $d\ge\frac{3-\sqrt5}8$, поскольку при меньших значениях $d$ предел равен $2+2\sqrt d$.

Самое смешное, что при этом будет выполнено
$$\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v+2\sqrt{s-\ldots}}}}=2+2\sqrt d\qquad(d>0.46767328\ldots)$$
(радикал определяем, как раньше).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение06.05.2010, 19:35 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Уважаемый RIP, мне нечего добавить, потому что Вы ответили гораздо больше чем ожидалось. А про анализ областей сходимости и пределов последовательностей, это мне мало доступно. Очень порадовало число $7/4$, мне с ним тоже пришлось встретиться. Жалко что Вы не выписали уравнения 12-й и 27-й степени(хотя бы самым малюсеньким шрифтом). Уравнения меня пугают несильно(насмотрелся).
Сам хочу вот решить уравнение:
$x^{128}+x^{127}-127x^{126}-126x^{125}+7875x^{124}+7750x^{123}-317750x^{122}-.....+1=0$
Спасибо еще раз за Ваши весьма интересные находки.
Разрешите только добавить что при $d=1/4$ мы получаем интересную формулу(ее часто спрашивают на форумах, когда дело касается угла в 20градусов):
$4\cos \left(\frac{\pi }{9} \right)=\sqrt{6+2\sqrt{9+2\sqrt{6+2\sqrt{9+....}}}}$

-- Чт май 06, 2010 20:40:05 --

Xaositect в сообщении #316002 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):
Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.
Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

Спасибо за адрес, правда у меня нескачалось, но я друзей попрошу, если у них получиться, то обязательно познакомлюсь с этой книжкой.

-- Чт май 06, 2010 20:43:06 --

AKM в сообщении #315516 писал(а):

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):
Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа: ...
Странно: мат-ламер никак не мог быть научным руководителем или хотя бы корешем Гаусса...

(Оффтоп)

Извините, я незнал, что такое оффтоп. Юмор ценю. Действительно, лучше б спросить зачем математики нашли больше 400 миллиардов знаков Pi?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение06.05.2010, 23:39 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Vvp_57 в сообщении #316306 писал(а):
Уважаемый RIP, мне нечего добавить, потому что Вы ответили гораздо больше чем ожидалось. А про анализ областей сходимости и пределов последовательностей, это мне мало доступно. Очень порадовало число $7/4$, мне с ним тоже пришлось встретиться. Жалко что Вы не выписали уравнения 12-й и 27-й степени(хотя бы самым малюсеньким шрифтом). Уравнения меня пугают несильно(насмотрелся).
Сам хочу вот решить уравнение:
$x^{128}+x^{127}-127x^{126}-126x^{125}+7875x^{124}+7750x^{123}-317750x^{122}-.....+1=0$
Спасибо еще раз за Ваши весьма интересные находки.
Разрешите только добавить что при $d=1/4$ мы получаем интересную формулу(ее часто спрашивают на форумах, когда дело касается угла в 20градусов):
$4\cos \left(\frac{\pi }{9} \right)=\sqrt{6+2\sqrt{9+2\sqrt{6+2\sqrt{9+....}}}}$

-- Чт май 06, 2010 20:40:05 --

Xaositect в сообщении #316002 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):
Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.
Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

Спасибо за адрес, правда у меня нескачалось, но я друзей попрошу, если у них получиться, то обязательно познакомлюсь с этой книжкой.
P.S. Спасибо! Книжку получил. Читаю.
-- Чт май 06, 2010 20:43:06 --

AKM в сообщении #315516 писал(а):

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):
Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа: ...
Странно: мат-ламер никак не мог быть научным руководителем или хотя бы корешем Гаусса...

(Оффтоп)

Извините, я незнал, что такое оффтоп. Юмор ценю. Действительно, лучше б спросить зачем математики нашли больше 400 миллиардов знаков Pi?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечные радикалы. Упрощение.
Сообщение07.05.2010, 02:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822

(Многочлены)

Код:
4096*z^12 + 18432*z^10 + 12288*z^9 + 28416*z^8 + 36864*z^7 + 20224*z^6 + 29184*z^5 - 2320*z^4 - 1792*z^3 - 15032*z^2 - 10192*z + 3457
(d = z^2 = 0.06160173444166105999540091969, 0.4676732805083891316340280152)

18014398509481984*d^27 + 616993148949757952*d^26 + 10113958863167291392*d^25 + 105503295195618213888*d^24 + 785453529973783527424*d^23 + 4436182957564201271296*d^22 + 19722827461262657454080*d^21 + 70682542608203131125760*d^20 + 207389842666551758553088*d^19 + 503118869592306419236864*d^18 + 1014679565918442482565120*d^17 + 1704038902035870405099520*d^16 + 2378013790339641871695872*d^15 + 2740152841029943505715200*d^14 + 2575930961095977456369664*d^13 + 1934460743139972907794432*d^12 + 1116758190991155287556096*d^11 + 456146585028492851675136*d^10 + 100149777267680625295360*d^9 - 12759475800172704759808*d^8 - 18060623864675880173568*d^7 - 5378912525353910738944*d^6 - 127310650930406152192*d^5 + 305761202631017925120*d^4 + 54642638527414571840*d^3 - 4215631371682687664*d^2 - 1248186216482127028*d + 30046015909012739
(d = 0.02289290338162379943412823087)


(Просьба)

Я был бы Вам очень признателен, если б Вы перестали обзывать меня уважаемым. Меня от этого обращения коробит. Лучше просто RIP (без слова "просто").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group