2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Честная игра № 2
Сообщение15.04.2010, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Навеяно соседней темой, возможно, боян.

Двое играют в такую игру. Дима дает Вове рубль. Вова берет колоду из 52 карт и поочередно вынимает по одной карте из колоды и кладет на стол лицом вверх. В любой момент Дима может сказать "стоп" и, если следующая карта в колоде красная, получить от Вовы два рубля (в противном случае ничего).

Вопрос: честная ли это игра и как Дима может максимизировать свой ожидаемый выигрыш?

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение15.04.2010, 22:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Игра нечестная. Причем с точностью до абсолютизма. Дима постоянно считает, сколько вытащено красных и сколько черных (держит в уме) в результате, он практически всегда знает, в какую сторону идет выигрыш. Т.е. если из 54 карт вытащено 40, из них 26 красных, значит, осталась одна красная и 13 черных. Играть дальше смысла нет и он отказывается. Если же наоборот. То выигрыш - 100%. Таким образом, дождавшись определенного момента в игре Дима всегда с точностью наверняка может знать следующая карта будет черная или красная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Дима вначале заплатил рубль, не забывайте б этом.

Забыл сказать, что колода хорошо перемешана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 00:51 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
age в сообщении #310068 писал(а):
Игра нечестная. Причем с точностью до абсолютизма. Дима постоянно считает, сколько вытащено красных и сколько черных (держит в уме) в результате, он практически всегда знает, в какую сторону идет выигрыш. Т.е. если из 54 карт вытащено 40, из них 26 красных, значит, осталась одна красная и 13 черных. Играть дальше смысла нет и он отказывается.
Т.е. гарантированно потерять рубль?

Цитата:
Если же наоборот. То выигрыш - 100%. Таким образом, дождавшись определенного момента в игре Дима всегда с точностью наверняка может знать следующая карта будет черная или красная.
Вопрос в том, с какой вероятностью возникает такая ситуация, и насколько она повлияет на ожидаемый выигрыш.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 01:28 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Да, я понял, рубль за участие я пропустил.
Тогда все исходы: как красные, так и черные окончания, когда он может гарантированно сказать, что карта того или иного цвета будет следующей - равновероятны.
Поэтому как бы он ни угадывал - ровно в половине случаев будет красная карта (угадал) - в другой половине - черная (не угадал).
Т.е. в половине случаев он получит 2 рубля. А в половине - потеряет рубль.
Т.е. сколько денег у него было, столько и останется в конце. Бесполезная трата времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 02:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
age в сообщении #310101 писал(а):
Да, я понял, рубль за участие я пропустил.
Тогда все исходы: как красные, так и черные окончания, когда он может гарантированно сказать, что карта того или иного цвета будет следующей - равновероятны.
А если учесть промежуточные варианты, когда красных осталось больше чем чёрных?
Нам ведь не нужна 100% вероятность, а только больше половины.

(не смотреть)

Но вы угадали, действительно оптимальная стратегия (как впрочем и неоптимальная) дадут вероятность 1/2. Это можно доказать по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 19:52 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Рассмотрим более общую ситуацию: пусть у нас есть $m$ красных и $n$ черных карт.

Докажем, что как бы Дима не играл, вероятность выигрыша у него будет не выше, чем $\frac m {m+n}$.
Доказывать будем по индукции по количеству карт.

1. Если у нас есть колода из одной карты, то это очевидно. (база индукции)
2. Если наша колода из $(n+m)$ карт и игра остановлена сразу, то вероятность равна $\frac m {m+n}$.
Если открыта одна карта, то вероятность, по предположению индукции, не выше, чем
$\frac n {m+n} \frac m {m+n-1} + \frac m {m+n} \frac {m-1} {m+n-1} = \frac m {m+n}$. Все доказано.

То есть, исходная игра честная и Дима должен сразу остановить игру, а то хуже будет, во всяком случае, не лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 20:01 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
neo66 в сообщении #310363 писал(а):
Рассмотрим более общую ситуацию: пусть у нас есть $m$ красных и $n$ черных карт.
...
Только замените везде "не выше, чем" на "равна", и будет совсем правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение16.04.2010, 21:30 
Заслуженный участник


14/01/07
787
И то правда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение17.04.2010, 10:04 


14/02/06
285
Цитата:
Дима должен сразу остановить игру, а то хуже будет, во всяком случае, не лучше.

Не должен. Все равно на каком шаге говорить стоп, вероятность выигрыша 0,5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Честная игра № 2
Сообщение17.04.2010, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
sergey1 в сообщении #310477 писал(а):
Не должен. Все равно на каком шаге говорить стоп, вероятность выигрыша 0,5.

Просвещенные джедаи называют это теоремой Дуба про произвольный выбор: в какой момент ни останови мартингал, во рту слаще не станет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group