2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лёгкое неравенство
Сообщение11.04.2010, 10:46 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Докажите, что для всех действительных $a,$ $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2+5(ab+ac+bc)\geq0$, выполняется:
$$(a+b+c)^6\geq36(a+b)(a+c)(b+c)abc$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое неравенство
Сообщение11.04.2010, 12:10 


21/06/06
1721
Не совсем понял, но по AM-GM
$\frac{(a+b)+(b+c)+(a+c)+a+b+c}{6}=\frac{a+b+c}{2} \ge \sqrt[6]{(a+b)(b+c)(a+c)abc}$
А значит $(a+b+c)^6 \ge 64(a+b)(b+c)(a+c)abc$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2010, 16:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #308416 писал(а):
Не совсем понял, но по AM-GM
$\frac{(a+b)+(b+c)+(a+c)+a+b+c}{6}=\frac{a+b+c}{2} \ge \sqrt[6]{(a+b)(b+c)(a+c)abc}$
А значит $(a+b+c)^6 \ge 64(a+b)(b+c)(a+c)abc$

Ваше неравенство неверно. Проверьте: $a=3.5$, $b=-1.4$ и $c=0.91$
Стал искать контр-пример к Вашему неравенству и нашёл - к своему. :mrgreen:
Уже исправил условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое неравенство
Сообщение11.04.2010, 19:01 


21/06/06
1721
Да нет, оно верно, только я условие не разглядел и перепутал все вещественные со всеми положительными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое неравенство
Сообщение12.04.2010, 13:11 


21/06/06
1721
Исходное неравенство не меняется при изменении знаков всех трех чисел $a, b, c$ на противоположные.
Поэтому:
1) Оно справедливо, когда все эти три числа положительные, а значит оно справедливо и когда все эти три числа отрицательные.
2) Далее без ограничения общности можно считать, что среди чисел $a, b, c$ есть два положительных и одно отрицательное.
3) Пусть отрицательным будет $a$, а $b$ и $c$ положительны.
4) Тогда если модуль $a$ самый большой, то исходное неравенство заведомо справедливо, так как в его правой части будут три отрицательных сомножителя, а левая часть (шестая степень) всегда неотрицательна.
5) Если модуль $a$ самый маленький, то тогда подстановкой $x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{b+c}{2}, z=\frac{a+c}{2}$ сводим исходное неравенство (я опускаю детали) к неравенству, справедливость которого точно также как и выше по AM-GM доказывается легко (так как в этом случае все три числа $x, y, z$ - числа положительные).
6) Остался последний случай, когда модуль $a$ заключен между модулями двух положительных чисел $b$ и $c$. Мы будем полагать, что $b<c$.
Тогда в левой части вот рассмотрим такой кусочек $a(a+b)$ - это число положительное, равное произведению двух неотрицательных чисел $a$ и $(a+b)$. Ясно что оно меньше $a^2$. Тогда левая часть данного неравенства меньше $36(a+c)(b+c)a^2bc$.
Далее по AM-GM получаем, что $\frac{4}{3}[(a+c)(b+c)+a^2+bc]^3 \ge 36(a+c)(b+c)a^2bc$.
Остается показать, что
$(a+b+c)^2 \ge \sqrt[3]{\frac{4}{3}}[(a+c)(b+c)+a^2+bc]$
при заданных условиях на $a, b, c$.
Если это можно сделать, то значит таким способом можно доказать данное неравенство, если нет, то значит нужно по другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое неравенство
Сообщение12.04.2010, 20:47 


27/10/09
32
Хмм... Это неравенство равносильно: (суммы циклические)
$(\sum{a^3}+3\sum{a^2b}+3\sum{b^2a})^{2}+12abc\sum{a^3}\ge 36a^{2}b^{2}c^2$

или $x=\sum{a^2b}+3\sum{b^2a}$
$y=2abc$

$(\sum{a^3})^{2}+6(x+y)\sum{a^3}+9x^{2}-9y^{2}\ge 0$
Если расматривать это, как квадратное неравенство относительно $\sum{a^3}$ надо доказать
что дискриминант не превосходит нуляНо с этим как-то туго. :cry: Надо как-то использовать условие :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое неравенство
Сообщение12.04.2010, 23:55 
Заслуженный участник


01/12/05
458
arqady в сообщении #308405 писал(а):
Докажите, что для всех действительных $a,$ $b$ и $c$ таких, что $a^2+b^2+c^2+5(ab+ac+bc)\geq0$, выполняется:
$$(a+b+c)^6\geq36(a+b)(a+c)(b+c)abc$$

Обозначим $t_1:=a+b+c, \ t_2:=ab+bc+ac, \ t_3:=abc$. Также в силу уже сказанного выше, достаточно считать что $t_2\leq 0$. Тогда нужно показать, что $t_1^6\geq 36t_3(t_1t_2-t_3)\leftrightarrow 36t_3^2-36t_1t_2\cdot t_3+t_1^6\geq 0$ при $t_1^2+3t_2\geq 0$. Рассмотрим $f(t_3):=36t_3^2-36t_1t_2\cdot t_3+t_1^6$ как квадратный трехчлен от $t_3$, который достигает минимума при $t_3=(t_1 t_2)/2$, подстановка этого значения дает $f((t_1 t_2)/2)=t_1^2(t_1^2-3t_2)(t_1^2+3t_2)\geq 0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2010, 12:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Всё правильно, Юстас! Моё доказательство примерно такое же.
Равенство достигается ещё, когда $a,$ $b$ и $c$ - корни уравнения $2x^3-6x^2-6x+9=0.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group