Где найти чёткое определение периода дроби ?

[hardfun]

Всем привет.

Сабж. Интересует ТОЧНОЕ математическое определение того, что такое период дроби.
Дайте ссылку, плз.

Заранее спасибо за ответы.

[AD]

Перенёс в учебный раздел.

Последовательность $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ назовем периодической, если $\exists T\in\mathbb{N},K\in\mathbb{N}$: $\forall k\in\mathbb{N},k>K$ $a_{k+T}=a_k$. Наименьшее $T$, удовлетворяющее этому условию*, назовем длиной периода последовательности $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ и обозначим $T_0$, а любую подпоследовательность $(a_k,\ldots,a_{k+T_0-1})$, где $k>K$ --- периодом последовательности $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$.

Периодом десятичной дроби назовем период последовательности ее цифр.

Устраивает?
_________________
* Если последовательность таки является периодической, то множество таких $T$ есть не пустое подмножество $\mathbb{N}$, и потому оно содержит наименьший элемент.

[JMH]

Я бы предложил убрать слово "десятичной" из последнего утверждения, т.к. оно уменьшает общность определения, не добавляя ничего по существу.

[hardfun]

> Устраивает?

Почти. Остался вопрос про длину ПРЕДпериода в одном специальном случае, а именно: с какого разряда считать начинающимся период, если он содержит в себе, помимо значащих цифр, нули, а сама дробь является такой, что дробная часть также начинается с нескольких нулей.
Вот пример: 100000/90000009=0.001111111000000011111110000000111111100000...
Как правильно представить эту дробь в "периодическом" виде:
1) 0.(00111111100000) или 2) 0.00(11111110000000) - ?

[JMH]

- В терминах определения выше inf(k) является началом периодической части дроби, соответственно, длиной "предпериода" будет inf(k)-1.
- 2.

[AD]

JMH в сообщении #306693 писал(а):

Я бы предложил убрать слово "десятичной" из последнего утверждения, т.к. оно уменьшает общность определения, не добавляя ничего по существу.

Ну тогда все равно надо оставить что-то типа "$p$-ичной", потому что при разных $p$ будут разные понятия.

JMH в сообщении #306706 писал(а):

В терминах определения выше inf(k) является началом периодической части дроби, соответственно, длиной "предпериода" будет inf(k)-1.

Только тогда $K$ большое.

И еще одна тонкость - когда мы говорим, что дробь у нас представлена последовательностью цифр, то мы сюда включаем то, что до запятой, или нет? Лучше не включать.

[hardfun]

JMH в сообщении #306706 писал(а):

- В терминах определения выше inf(k) является началом периодической части дроби, соответственно, длиной "предпериода" будет inf(k)-1.
- 2.

Что значит "-2", второй вариант ? но ведь и первый вполне отвечает всем требованиям определения: для дробной части "001111111000000011111110000000111111100000..." при $K$=0, $k$=1 и $T_0$=14 выполнено требование $a_{k+T}=a_k$
PS. Объясните, плз, что такое inf(k) /* я не математик */

-- Вт апр 06, 2010 07:47:08 --

AD в сообщении #306738 писал(а):

когда мы говорим, что дробь у нас представлена последовательностью цифр, то мы сюда включаем то, что до запятой, или нет? Лучше не включать.

разумеется, не включаем! мало ли что там у дроби слева от запятой. Рассматриваем правильные дроби $k/m, где k=1, m>=k, k\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N} $

[Профессор Снэйп]

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её значение равно рациональному числу

[hardfun]

Профессор Снэйп в сообщении #306752 писал(а):

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её значение равно рациональному числу

вопрос был не про то, что такое периодическая дробь, а что такое период

[ewert]

hardfun в сообщении #306741 писал(а):

Объясните, плз, что такое inf(k)

В данном случае -- просто минимум.

JMH в сообщении #306706 писал(а):

В терминах определения выше inf(k) является началом периодической части дроби, соответственно, длиной "предпериода" будет inf(k)-1.

Нет, просто минимум, без минус единички, т.к. неравенство в том определении было строгим.

[AD]

hardfun в сообщении #306741 писал(а):

PS. Объясните, плз, что такое inf(k) /* я не математик */

В смысле "наименьшее такое $K$, что ..., называется длиной предпериода". /* да, мы заметили */

[hardfun]

AD в сообщении #306759 писал(а):

hardfun в сообщении #306741 писал(а):

PS. Объясните, плз, что такое inf(k) /* я не математик */

В смысле "наименьшее такое $K$, что ..., называется длиной предпериода".

След-но, длина предпериода = inf(k) может оказаться равной нулю ? Если так, то извиняюсь, но вынужден повторить вопрос: как правильно записать результат деления 100000/90000009:
1) в виде 0.(00111111100000), т.е. с НУЛЕВЫМ предпериодом или
2) в виде 0.00(11111110000000),т.е. с предпериодом = "00"

[ewert]

С нулевым.

[Профессор Снэйп]

А разве не оба варианта правильны?

[ewert]

Нет. Имелся в виду минимальный "предпериод". (где-то тут в середине всей этой путаницы)