2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две первообразные одной функции
Сообщение28.08.2006, 16:04 


27/08/06
579
У меня возник такой вопрос: почему две различные первообразные от некоторой
наперёд заданной функции, могут разнитЬся между собой лишь на константу а
не на какую- либо другую функцию? То есть почему они равны с точностью до константы
а не с точностью до функции скажем:y=x^2? Как это строго доказать?
Ведь мало ли какие там первообразные может иметь исходная функция.



Заранее всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2006, 16:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Две первообразные отличаются на функцию, производная которой равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2006, 17:20 


27/08/06
579
Такой элементарный аргумент оказался- спасибо.

Задача возникла из рассмотрения функции1=sin^2x+cos^2x[/math].

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Для начала уточним, что понимается под первообразной.

Определение. Пусть функция F дифференцируема внутри промежутка I с концами aи b, каждый из которых может быть конечным числом или символом оо, может включаться или не включаться в промежуток I, и непрерывна на тех концах, которые включены в I.
Тогда функция F называется первообразной для функции f на промежутке I, если внутри промежутка F' = f.

В одну сторону очевидно: если две функции F и G отличаются на сонстанту, то их производные равны. Для обратного нужна
Теорема Ланранжа. Если функция H непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в его внутренних точках, то существует точка c \in (a,b}, для которой H(b)-H(a)=H'(c)(b-a)
Замечание. Вместо непрерывности внутри можно говорить о непрерывности на концах, ибо во внутренних точках непрерывность вытекает из дифференцируемости.

Пусть теперь две функции F и G являются первообразными для одной и той же функции f на промежуткеI. Рассмотрим функцию H=F-G. Зафиксируем произвольную точку d \in I. Тогда при любом x \in I на отрезке [d, x] (или на [x, d]) по теореме Лагранжа имеем:
H(x)-H(d)=H'(c)(x-d)=0, то есть H(d) и есть та константа, на которую разнятся функции F и G на промежутке I.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group