2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 11:26 


15/12/05
754
Вероятно следующее сравнение невозможно
$x^2 -yx+y^2 \equiv 0 \mod q$ при $x$$- y \mod q$

Может кто-то встречал простое доказательство или знает решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 11:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Кроме $q=3$
$x^2-xy+y^2\equiv3xy\mod(x+y)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 11:49 


15/12/05
754
Хотелось бы получить что-то похожее на такое:

$x^2-xy+y^2\equiv 0 \mod(x+y)^2$

Я пометил сравнимость с нулём.
Тогда, надо полагать, что $3xy\equiv 0 \mod(x+y)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 12:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ananova
В общем, в терминах сравнений все довольно запутанно. Объясню по-простому:
$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$
Поэтому, если при взаимно простых $x$и $y$, $x^2-xy+y^2$ и $x+y$ имеют общий множитель $q$, то на него делится и $3xy$. Т.е. $x$и $y$ не взаимно простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 12:27 


15/12/05
754
age в сообщении #304406 писал(а):
все довольно запутанно.

В общем-то вопрос можно и так поставить:
Есть ли гипотетический модуль $q$, который не делит ($x+y$) и делит $x^2-xy+y^2$, случай, когда $x$$-y \mod q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 12:42 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Нету, потому что см.выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 13:53 


15/12/05
754
Ноги этого запутанного вопроса, растут из другой известной Вам темы http://dxdy.ru/topic31438.html:

ananova в сообщении #300600 писал(а):
Cгруппируем выборку малых множителей

$(y+z) + (x+z)-(x+y) = 2z$.

$2z \equiv x_1^p+y_1^p p^{np-1}-z_1^p \equiv 0 \mod q$.

По предварительному условию число $q$ делит $z$. В этом случае $x_1$, $y_1$ и $p$ не сравнимы с нулем, поскольку сравнение $x=-x_1 x_2 \equiv 0 \mod q$ или $y=-y_1 py_2 \equiv 0 \mod q $ вместе со сравнением $z \equiv  0 \mod q $ противоречило бы требованию ВТФ (взаимной простоты чисел $x,y,z$). Этот же вывод можно сделать и так: поскольку $q$ не делит ни $xy$, ни $x_1 y_1 p$, то $q$ должно делить $z_1$, так как $2z \equiv -z_1^p \equiv  0 \mod q$.


Когда число $q$ имеет вид $2kp+1$ то, при Случае 1 ВТФ
$2z \equiv x_1^p+y_1^p -z_1^p \equiv 0 \mod q$. Одно из слагаемых сравнимо с 0 из-за особенных свойств числа $q$. Но в подслучае Случая 2, который был упомянут с разъяснениями к нему, у меня продолжаются сомнения, несмотря на то, что Вами он был (при беглом просмотре) принят.

Далее мы перекинулись на Случай 1, который увёл в сторону от проблемы мои сомнения, учитывая, что он легко объясняет сравнимость с нулем трех слагаемых, что радовало душу.

Но сомнения снова вернулись.

(Хотя по модулю $q$ число $y_1^p p^{np-1}$ является кубом какого-то числа непременно - если это поможет разобраться).

Поэтому и открыл эту тему, чтобы издалека понять и разобраться "что к чему" и распутать этот запутанный случай.

ananova в сообщении #304417 писал(а):
В общем-то вопрос можно и так поставить:
Есть ли гипотетический модуль $q$, который не делит ($x+y$) и делит $x^2-xy+y^2$, случай, когда $x$$-y \mod q$.

age в сообщении #304421 писал(а):
Нету, потому что см.выше.



Таким образом, рассмотрен вопрос, что, если $q$ не делит ($x+y$), то есть выполняется $x$$-y \mod q$
в этом случае:

a) $(x+y) $$0  \mod q$
b) $\frac {x^p+y^p}{x+y}$$0  \mod q$
и, соответствено, $z^p$$0  \mod q$, а значит ситуацию для
$2z \equiv x_1^p+y_1^p p^{np-1}-z_1^p \equiv 0 \mod q$ можно не рассматривать,
если $q$ не делит ($x+y$), то есть выполняется $x$$-y \mod q$,
т.к. она противоречит условию $z \equiv 0 \mod q$

и тогда, аргументы, выдвинутые для возможности (справедливости):

$2z \equiv x_1^p+y_1^p p^{np-1}-(x+y)^p \equiv 0 \mod q$, что существует единственно возможное решение только, когда $(x+y) \equiv 0 \mod q$,
являются верными и единственными в защиту этого вывода. (Тогда можно не латать доказательство для подслучая 2 Случая 2.)

Однако, если такой вывод верен, то возможно следующее:
$2z \equiv x_1^p+y_1^p p^{np-1} \equiv 0 \mod q$
$x_1^p \equiv - y_1^p p^{np-1}\mod q$
Предположив, что $(x+y) \equiv 0 \mod q$, получается, что $x \equiv - y \mod q$
Это, вроде, не противоречит предыдущему выводу, т.к. $y^p \equiv 0 \mod y_1^p p^{np-1}$
Однако - пример, для случая $p=5$ и $q=2p+1=11$:
$\pm1 \equiv \pm1* 5^4 \mod 11$
Что невозможно, т.к. это вообще ошибка в предположении. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 15:21 


15/12/05
754
Предположив, что $(x+y)$$0 \mod q$, получается, что $x$$- y \mod q$, но тем не менее: $z \equiv 0 \mod q$,
однако имеем $2z \equiv x_1^p+y_1^p p^{np-1}+ (x+y)$$0 \mod q$ , что невозможно, т.к. е не может существовать множитель у числа $z^p$, взаимнопростой с $x+y$ и сравнимый с нулём.
Так что получается, что единственный возможный вариант, что $(x+y)$ сравним с нулём по модулю $q$ и в этом случае подслучай Случая 2 ВТФ получается справедливым, т.к. все остальные шаги повторяют доказательство Лежандра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 16:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ananova
Что-то я потерял нить. Как согласуется вот это:
Цитата:
Таким образом, рассмотрен вопрос, что, если $q$ не делит ($x+y$), то есть выполняется $x$$-y \mod q$
в этом случае:

a) $(x+y) $$0 \mod q$
b) $\frac {x^p+y^p}{x+y}$$0 \mod q$
и, соответствено, $z^p$$0 \mod q$

и вот это:
Цитата:
Предположив, что $(x+y)$$0 \mod q$, получается, что $x$$- y \mod q$, но тем не менее: $z \equiv 0 \mod q$,
:?:
Если $(x+y)$$0 \mod q$, то $\dfrac {x^p+y^p}{x+y}\equiv0\mod q$. Иначе $z$ не делится на $q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 17:55 


23/01/07
3415
Новосибирск
ananova в сообщении #304417 писал(а):
В общем-то вопрос можно и так поставить:
Есть ли гипотетический модуль $q$, который не делит ($x+y$) и делит $x^2-xy+y^2$, случай, когда $x$$-y \mod q$.



Только по модулю $3$ возможно:
$(x^2-xy+y^2)\equiv (x+y)\equiv 0 \pmod 3$?
По другим основаниям $x+y$ и $x^2-xy+y^2$ взаимнопросты.
Т.е. любой множитель выражения $x^2-xy+y^2$, кроме $3$, будет тем самым $q$.
Например,
$3^2-3\cdot 1 +1^2=7$
$3+1\not \equiv 0\pmod 7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 20:55 


22/02/09

285
Свердловская обл.
Батороев в сообщении #304569 писал(а):
Только по модулю $3$ возможно

Можно и так:
$x^2-xy+y^2=Qc_1$,где $x+y=3^5c_1^3c_2^3$ и $z=cd=9c_1c_2$
Т.есть $z$ и $x^2-xy+y^2$ имеют общий делитель $c_1$ с $x+y$ .Доказательство простое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 21:26 


15/12/05
754
Что-то я не так может понимаю?
$z<x+y<2z$
$9c_1c_2<3^5c_1^3c_2^3<2(9c_1c_2)$
Может $c_1$ и/или $c_2$ рациональное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 21:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ananova
У Гаджимурат не бывает меньше пяти символов в формуле $zyQc_1c_2z$. Ничего не пропустил? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 21:46 


15/12/05
754
age! Ну четыре определителя - это тоже восхищает! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения x^2 -yx+y^2 с 0, при x ≠ - y
Сообщение30.03.2010, 21:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
ananova
Надо было их еще обозначить $C_3,X_1,P_m$ и $D_2$. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group