2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несколько вопросов по дзета-функции Римана
Сообщение25.08.2006, 22:06 


21/03/06
1545
Москва
Уважаемые форумчане, скажите пожалуйста, кто знает:
1. Согласно Википедии:
Дзета-функция Римана ζ(s) определена с помощью ряда Дирихле:
$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$
В области $\left\{s : {Re}(s) > 1 \right\}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$
где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Вопрос(насколько я понимаю, ответ - нет): сохраняется ли это тождество при s = 1?
2. В любом случае, рассмотрим некоторую функцию Z(s)
$Z(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$
при s = 1. Получим:
$Z(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
Имеет ли данное выражение какой-нибудь математический смысл? Под математическим смыслом я подразумеваю понятие, аналогичное понятию "физический смысл" в физике. Т.е. имеет ли эта формула какое-нибудь значение в математике?

Буду благодарен за любые ответы, но, т.к. сам я довольно далек от данного раздела математики, прошу - объясняйте как для школьника :).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.08.2006, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Могу предложить свои опусы http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=13679&highlight=#13679

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.08.2006, 22:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можете считать Z(1) бесконечностью, в том смысле, что при умножении на ноль может появиться конечное ненулевое значение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.08.2006, 22:26 


21/03/06
1545
Москва
Ваши труды видел еще когда шло обсуждение, особо не вникал, т.к. в первых постах вы ушли от интересующей меня темы. Тем не менее постараюсь просмотреть повнимательней, вникнуть. Сразу:
Артамонов Ю.Н. писал(а):
С другой стороны, это дзета функция Римана от s=1 и для нее справедлива формула Эйлера через произведение простых чисел
.
Это действительно так? Насколько я понял, при s=1 дзета-функция не определена, и, соответсвенно тождество Эйлера неприменимо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.08.2006, 22:32 


21/03/06
1545
Москва
Руст писал(а):
Можете считать Z(1) бесконечностью, в том смысле, что при умножении на ноль может появиться конечное ненулевое значение.

эээ... непонял :)
$Z(1) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
т.е. $Z(1) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} * \frac{1}{1-\frac{1}{3}} * \frac{1}{1-\frac{1}{5}} * \frac{1}{1-\frac{1}{7}} * \frac{1}{1-\frac{1}{11}} ... $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.08.2006, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
e2e4 писал(а):
Ваши труды видел еще когда шло обсуждение, особо не вникал, т.к. в первых постах вы ушли от интересующей меня темы. Тем не менее постараюсь просмотреть повнимательней, вникнуть. Сразу:
Артамонов Ю.Н. писал(а):
С другой стороны, это дзета функция Римана от s=1 и для нее справедлива формула Эйлера через произведение простых чисел
.
Это действительно так? Насколько я понял, при s=1 дзета-функция не определена, и, соответсвенно тождество Эйлера неприменимо?

Для того, чтобы разобраться в этом, проще всего попытаться получить соотношение Эйлера непосредственно.
Имеем $\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+...$
Пусть $n=p^s$, где $p$ - некоторое простое число, тогда $\frac{p^s}{p^s-1}= 1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+...$
$\prod\limits_{p\text{ - простое}}^{\infty}\frac{p^s}{p^s-1}=(1+\frac{1}{p_1^s}+\frac{1}{p_1^{2s}}+\frac{1}{p_1^{3s}}+...)(1+\frac{1}{p_2^s}+\frac{1}{p_2^{2s}}+\frac{1}{p_2^{3s}}+...)...(1+\frac{1}{p_n^s}+\frac{1}{p_n^{2s}}+\frac{1}{p_n^{3s}}+...)+...$
По основной теореме арифметики каждое число разлагается в произведение простых единственным образом. Тогда, раскрывая скобки в правой части равенства, мы получим все возможные сочетания из простых чисел, а следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$.
Отсюда видно, что степень $s$ мало что меняет, расходятся ряды, конечно, по-разному, но здесь справедлива формула Мертенса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 07:48 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
В точке s=1 у дзета функции полюс с вычетом 1. Точнее ничего придумать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 09:26 


21/03/06
1545
Москва
Спасибо, Артамонов Ю.Н., про справедливость тождества Эйлера понятно.
А вот что значит "полюс с вычетом 1"? Во всех источниках постоянно встречается этот термин, но я его не знаю...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 10:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это значит, что разница дзета(s)-1/s аналитическая функция в окрестности 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 10:33 


21/03/06
1545
Москва
Значит никому не встречось, так сказать, осмысление выражения
$Z(1) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ ?

Дело в том, что я полагаю, что это выражение, как при взятие произведения по конечному числу простых чисел, так и бесконечное произведение по всем простым числам - имеет четкий смысл.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Не понятно чего Вы хотите уяснить.
Осмысленно можно говорить только о частичных суммах расходящихся рядов.
гармонический ряд здесь
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=18279&highlight=#18279
формула Мертенса:
$(e^{\gamma})ln(N)=\prod\limits_{ p\leqslant{N}}{\frac {1}{1-\frac{1}{p}}}$
Расходящихся рядов математики опасаются

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.08.2006, 19:17 


21/03/06
1545
Москва
Поясните пожалуйста, что представляет собой гамма в предложенной вами формуле Мертенса? Постоянная Эйлера? В инете по фамилии "Мертенс" находится только его теорема, но не формула.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2006, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Да. $\gamma$ - это постоянная Эйлера. По теоремам Мертенса посмотрите стр. 85 http://www.math.ru/lib/book/djvu/yaglom ... dachi.djvu
а также http://mathworld.wolfram.com/MertensTheorem.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2006, 11:28 


21/03/06
1545
Москва
Спасибо Артамонов Ю.Н., Руст - вроде бы что-то прояснилось...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group