2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение в целых числах
Сообщение15.08.2006, 17:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Докажите, что уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0(mod \ m)$ разрешимо для любого натурального m, в то время как уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ не разрешимо в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2006, 07:38 


14/02/06
285
Предположим, что тройка x,y,z не имеет общих множителей (если имеет, то сократим на него), тогда x и z обязаны быть нечетными.
Перепишим исходное уравнение в виде: $4(x^3+y^3+z^3)=x^3-z^3.$
Левая часть делится на 8, а разность кубов нечетных чисел не делится (нетрудно показать).
P.S. Нулевое решение есть
Правка: наврал. $11^3-3^3=8*163$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2006, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Not that straightforward. Вы пытаетесь доказать через делимость, то есть (другими словами) по модулю, а так не получится, потому что оно как раз решается по всем модулям, но не решается в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение в целых числах
Сообщение17.08.2006, 12:35 


24/05/06
72
$3x^3+4y^3+5z^3=0(mod \ m)$
$\{[0]_m,[0]_m,[0]_m\} $
Цитата:
в то время как уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ не разрешимо в целых числах.

А как же {0,0,0}? 0 ведь принадлежит Z.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2006, 13:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это моё упущение. Когда уравнение однородное, под решением понимается нетривиальное (не все нули). Это относится и к решениям по модулю, т.е. по любому модулю имеется ненулевое (не все нули) решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2006, 11:14 


24/05/06
72
Для m четного, $\{[\frac{m}{2}]_m, [0]_m, [\frac{m}{2}]_m\}.

Что касается m = 1. То разрешимость уравнения под сомнением, поскольку Z_1 = \{[0]_1\}. В этом случае возможно только тривиальное решение. Поэтому. наверное не для всех натуральных m, уравнение разрешимо .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2006, 14:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вы правы. Когда говорится о разрешимости по любоиу модулю исключают 1, так как в этом случае все остатки нули..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
В книге П.Рибенбойма стр. 333 доказывается общая теорема Гурвица о количестве решений сравнения $ax^p+by^p+cz^p=0(q)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group