2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение12.08.2006, 21:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Доказать, что при a,b>=1 выполняется неравенство:
$ab\le e^{a-1}+b\ln b .$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.08.2006, 00:43 


24/05/06
72
Руст писал(а):
Доказать, что при a,b>=1 выполняется неравенство:
$ab\le e^{a-1}+b \ln b .$


$b(a- \ln b) \le e^{a-1}$

$\ln(b(a- \ln b)) \le(a-1)$

$ \ln b + \ln (a-\ln b) \le (a-1)$

$\ln(a-\ln b)\le a - \ln b - 1$

$$a-\ln b \le e^{a-\ln b-1}$$

Возможны два варианта:
$$a-\ln b \le 0$$
$$a-\ln b > 0$$.
Первый вариант:слева в неравенстве отрицательное число, справа положит.
Второй вариант:
Пусть $$x = a-\ln b $$, тогда неравенство примет вид
$$e \times x \le e^ x$$, рассмотрим $$f(x) = e^ x$$ и $$g(x) = e \times x$$, g(x) есть касательная к f(x), в точке (1,e).График f(x) лежит выше прямой g(x), и пересечение имеет место быть в точке (1,е).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.08.2006, 07:01 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вообще то эта задача относится к преобразованию Лежандра. В частных случаях можно решить задачу и не зная эту теорию.

 Профиль  
                  
 
 Пересечение шаров
Сообщение13.08.2006, 07:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Существует ли пустое пересечение замкнутых шаров в полном метрическом пространстве?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.08.2006, 17:44 


24/05/06
72
Руст писал(а):
Вообще то эта задача относится к преобразованию Лежандра. В частных случаях можно решить задачу и не зная эту теорию.


Значит ли это, что мое док-во не верно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.08.2006, 17:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Доказательство верное, если не обращать внимания на шероховатости, связанные взятием логарифма, а потом обсуждали возможность отрицательных значений того, от которого брали логарифм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пересечение шаров
Сообщение23.08.2006, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Руст писал(а):
Существует ли пустое пересечение замкнутых шаров в полном метрическом пространстве?

Если Ваш вопрос следует понимать как: существует ли такое полное метрическое пространство,в котором некоторая последовательность вложенных замкнутых шаров имеет непустое пересечение, то ответ - да, и соответствующий пример имеется в книге "Б. Гелбаум, Дж.Олмстед Контрпримеры в анализе."

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group