Ну нифигасе - на дом! В рамках какого курса задачу дали - чем пользоваться можно?
Упомянутое мной доказательство использует минимум средств, но не так, чтобы совсем с нуля.
Например, предполагается известными теорема Лагранжа из теории групп и свойства функции Эйлера.
Начинается это док-во так. Пусть

- конечная подгруппа в мультипликативной группе тела и

.
Далее для любого, делящего

рассматриваем корни двучлена

и разбиваем эти корни (они все лежат в

) множество корней на классы в зависимости от порядка корня как элемента группы

. Далее работаем с функцией Эйлера и получаем, что число элементов порядка

в группе

равно

. В частности элементы порядка

в

есть и поэтому она циклическая.