2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение17.03.2010, 20:08 
Как доказать,что всякое конечное тело является полем?

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 07:52 
Аватара пользователя
Это (малая) теорема Веддербёрна.
Более того, мультипликативная группа конечного тела циклическая.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 08:04 
Аватара пользователя
bot в сообщении #298884 писал(а):
Более того, мультипликативная группа конечного тела циклическая.

А почему "более того"?

Вообще, цикличность мультипликативной группы есть прямое следствие теоремы Веддербёрна (конечная мультипликативная подгруппа поля циклична). Сама же теорема Веддербёрна, насколько я помню, доказывается не так просто. У меня она на сдаче кандминимума была, посему в памяти отложилось, что доказательство довольно объёмное. Самого же доказательства уже не помню :oops:

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 08:25 
Аватара пользователя
Осознал, что плохо выразился и зашёл исправить, а Вы уж тут. :D

Я хотел сказать, что можно так и доказывать - мультипликтивная группа конечного тела циклическая. Доказательство не очень сложное - на пол-странички.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 09:00 
bot писал(а):
Я хотел сказать, что можно так и доказывать - мультипликтивная группа конечного тела циклическая. Доказательство не очень сложное - на пол-странички.
Да я знаю что это теорема Веддербёрна. Смотрел Шафаревича, там только формулировка. Подскажите хоть с чего начать док-во, желательно элементарное, потому что это задача на дом.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 09:10 
Аватара пользователя
Ну нифигасе - на дом! В рамках какого курса задачу дали - чем пользоваться можно?
Упомянутое мной доказательство использует минимум средств, но не так, чтобы совсем с нуля.
Например, предполагается известными теорема Лагранжа из теории групп и свойства функции Эйлера.
Начинается это док-во так. Пусть $G$ - конечная подгруппа в мультипликативной группе тела и $m=|G|$.
Далее для любого, делящего $m$ рассматриваем корни двучлена $x^n-1$ и разбиваем эти корни (они все лежат в $G$) множество корней на классы в зависимости от порядка корня как элемента группы $G$. Далее работаем с функцией Эйлера и получаем, что число элементов порядка $m$ в группе $G$ равно $\varphi (m)$. В частности элементы порядка $m$ в $G$ есть и поэтому она циклическая.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 09:15 
Аватара пользователя
Я думаю, что это задание на дом реферативного плана. Типа найти доказательство в книжке и разобраться в нём. Естественно, не самому доказать "с нуля" :)

Через Вики нашёл вот такую ссылку на доказательство. Правда, на аглицком. Но думаю, что раз уж дошли до теоремы Веддербёрна, то математический аглицкий худо-бедно должны понимать :)

-- Чт мар 18, 2010 12:17:04 --

Если всё же не понятно, вечерком могу перевести. Сейчас некогда :(

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 09:53 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #298909 писал(а):
Через Вики нашёл вот такую ссылку на доказательство.

Кажется я проморгал. Если одно место честно расписывать (в условиях, когда коммутативность ещё только доказывается) - длиннее, чем по ссылке получится.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 09:58 
Аватара пользователя
Какое именно место?

Меня сначала в ступор ввело, что из $xy = yx$ следует $xy^{-1} = y^{-1}x$. Но вроде у тела множество ненулевых элементов является группой по умножению, так что $y^{-1}xy = y^{-1}yx = x = xy^{-1}y$, домножая это равенства справа на $y^{-1}$, получаем требуемое.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 11:36 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #298921 писал(а):
Какое именно место?

Выделение линейного множителя для полиномов (коэффициенты пишем слева) над телом не работает. Как просто показать, что число корней не превосходит степени?

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 12:03 
Аватара пользователя
bot в сообщении #298953 писал(а):
Выделение линейного множителя для полиномов (коэффициенты пишем слева) над телом не работает. Как просто показать, что число корней не превосходит степени?

А где там этот момент? Процитируйте, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 12:38 
Аватара пользователя
Так я и думал, что Вы не поняли, что это я о своём - по ссылке этого места нет.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 12:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

bot в сообщении #298974 писал(а):
Так я и думал, что Вы не поняли, что это я о своём - по ссылке этого места нет.

Ну да, я не телепат :) А из текста сообщений понять, что Вы о своём, невозможно.

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 12:57 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Возможно - я же писал, что длиннее чем по ссылке получится. Надо было конечно написать, что это у меня длиннее получится (если вообще получится)

 
 
 
 Re: Как доказать,что всякое конечное тело является полем?
Сообщение18.03.2010, 13:43 
Аватара пользователя
А в ван дер Вардене нет дказательства?

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group