2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Производные высших порядков сложной функции
Сообщение18.02.2010, 11:22 


04/07/06
14
Пусть
$f=f(x),$
$x=x(t),$
необходимо получить нерекуррентное выражение для n-ой производной сложной функции $f(x(t))$ то есть $\frac{d^nf}{dt^n}$.
Полагая $\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt},$ применением определения $\frac{d^nf}{dt^n}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}\right)$ после упрощений можно получить
$\frac{d^2f}{dt^2}=\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^2x}{dt^2},$
$\frac{d^3f}{dt^3}=\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+3\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}+\frac{df}{dx}\frac{d^3x}{dt^3},$
$\frac{d^4f}{dt^4}=\frac{d^4f}{dx^4}\left(\frac{dx}{dt}\right)^4+6\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+4\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{dx}{dt}+3\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^4x}{dt^4},$
$\frac{d^5f}{dt^5}=\frac{d^5f}{dx^5}\left(\frac{dx}{dt}\right)^5+10\frac{d^4f}{dx^4}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+10\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^3x}{dt^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+15\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2\frac{dx}{dt}+5\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^4x}{dt^4}\frac{dx}{dt}+10\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{df}{dx}\frac{d^5x}{dt^5},$
$\frac{d^6f}{dt^6}=\frac{d^6f}{dx^6}\left(\frac{dx}{dt}\right)^6+15\frac{d^5f}{dx^5}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^4+20\frac{d^4f}{dx^4}\frac{d^3x}{dt^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+45\frac{d^4f}{dx^4}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}\right)^2+15\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^4x}{dt^4}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+60\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}+15\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^3+6\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^5x}{dt^5}\frac{dx}{dt}+15\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^4x}{dt^4}\frac{d^2x}{dt^2}+10\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{d^3x}{dt^3}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^6x}{dt^6}...$

Никак не могу выявить общей закономерности.

Также хотелось бы найти $\frac{d^n\varphi}{dt^n}$ для $\varphi=\varphi\left(u,v\right),$ $u=u\left(t\right),$ $v=v\left(t\right).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные высших порядков сложной функции
Сообщение18.02.2010, 11:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Где-то это уже было. И там где это было советовали посмотреть в Википедии - там это есть.

-- Чт фев 18, 2010 12:35:47 --

Вот оно: topic15001.html :!: :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group