Интегрирование

[Mikle1990]

Добрался до последнего примера по параграфу...
Вот такой пример:
$\int \frac {x} {2x^4 +5} \, dx$

Я поступил так:
$ t=x^2 x = \sqrt t dt = 2x (= 2\sqrt t ) $

Вот что я получил:
$\int \frac {\sqrt t} {(2t^2 +5)2\sqrt t} \, dt = \frac {1} {2} \int \frac {1} {(2t^2 +5)} \, dt $

И после ещё нескольких(всем известных) шагов я получил ответ. Только вот в "Ответах" он немного другой

Помогите пожалуйста найти ошибку.

[ИСН]

Интегрировать сложно, дифференцировать просто. Возьмите производную от своего ответа. А также от ответа из книги.
Ну что?

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #289620 писал(а):

Только вот в "Ответах" он немного другой

Это -- крайне маловероятно. Ваш способ -- единственно разумен (из напрашивающихся, конешно), и следующие шаги -- аналогично. Видать, Вы в арифметике чего после напутали (ну или в книжке очипятка, такое тоже бывает). Привели бы оба ответа для сравнения.

[ИСН]

Я протестую. Это слишком просто.

[Mikle1990]

($t$ обратно не заменял, т.к. речь не об этом)

$\int \frac {\sqrt t} {(2t^2 +5)2\sqrt t} \, dt = \frac {1} {2} \int \frac {1} {2t^2 +5} \, dt = \frac {1} {2} \int \frac {1} {(\sqrt 2 t)^2 +(\sqrt 5)^2} \, dt = \frac {1} {2\sqrt 5}\cdot \arctg \frac {\sqrt 2\cdot t} {\sqrt 5} + C $

В ответе почему-то: $\frac {1} {2\sqrt {10}}\cdot \arctg \frac {\sqrt 2\cdot t} {\sqrt 5} + C$

[AKM]

А это что за штуки такие???

Mikle1990 в сообщении #289620 писал(а):

$dt = 2x (= 2\sqrt t )$

[Mikle1990]

AKM в сообщении #289658 писал(а):

А это что за штуки такие???

Mikle1990 в сообщении #289620 писал(а):

$dt = 2x (= 2\sqrt t )$

Ну можно было и так написать $dt = 2x = 2\sqrt t $

Может кто-нибудь проверит то, что я написал до этого

[ИСН]

В трёх соснах, they say...
Когда t подружилось с корнем из двух, надо было сделать что?

[Mikle1990]

Я не понимаю, на что Вы намекаете(
У меня где ошибка?(

[AKM]

Mikle1990 в сообщении #289660 писал(а):

Ну можно было и так написать $dt = 2x = 2\sqrt t $

Может кто-нибудь проверит то, что я написал до этого

Я проверил, Вы не правы, но у меня ручки трясутся от процитированного... Так не пишут даже в лифтах.

[Mikle1990]

$\int \frac {x} {2x^4 +5} \, dx$

$ t=x^2 x = \sqrt t dt = d(x^2) = 2x\,{\color{magenta}dx} т.к. x = \sqrt t{\color{magenta},\quad\text{то}\quad dt=2\sqrt t\,dx} dt = 2\sqrt t\quad {\color{magenta}???\;\text{/AKM}} $

$\int \frac {\sqrt t} {(2t^2 +5)2\sqrt t} \, dt = \frac {1} {2} \int \frac {1} {2t^2 +5} \, dt = \frac {1} {2} \int \frac {1} {(\sqrt 2 t)^2 +(\sqrt 5)^2} \, dt = \frac {1} {2\sqrt 5}\cdot \arctg \frac {\sqrt 2\cdot t} {\sqrt 5} + C $

Не вижу ошибки(

[ИСН]

Какой табличный интеграл Вы применяете на последнем шаге? Как в точности он выглядит, в общем виде?

[Mikle1990]

$\int \frac {dx} {x^2 + a^2} = {\frac {1} a$ \cdot \arctg \frac {x}{a}}+C

[ИСН]

Так. Хорошо. Посмотрим на него ещё раз.
Теперь, когда Вы его применяете, кто играет роль "x"?

[Mikle1990]

ИСН в сообщении #289682 писал(а):

Теперь, когда Вы его применяете, кто играет роль "x"?

Чтоб не путаться:
$\int \frac {dt} {t^2 + a^2} = {\frac {1} a \cdot \arctg \frac {t}{a}}+C $

Роль $t$ играет $x^2$