2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об интегрируемости
Сообщение10.08.2006, 18:34 


21/06/06
1721
Интересно, а можно ли пополнить (или может быть вычесть) множество всех элементтарных функций, так, чтобы добавленное (или уменьшенное) множество функций было интегрируемо в них же. Ну разумеется исключить тривиальные случаи одних констант и линейных функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 19:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Множество всех дифференцируемых функций не устроит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Ну, во-первых, Ваш, Sasha2, пример — неправилен.

Например, полиномы замкнуты относительно интегрирования.

Главное — какое множество функций? Как Вы его строите? Например, замыканием относительно суперпозиции? Конечным или бесконечным тоже? Вопросы, вопросы… а без них Ваш вопрос теряет какой-либо смысл.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 05:19 


21/06/06
1721
Я не стррою пример, уважаемый модератор, вообще мое математическое образование достаточно скромное, и может быть я не совсем точно сформулировал задачу, но примерно так она должна звучать: все многочлены, все показательные, все тригонометрические и обратные к таковым, плюс все то, что можно построить суперпозицией, за вычетом тех, интегралы которых (имеется ввиду неопределенные), через первые не выражаются.

P.S. Кстати, а точно ли доказано, ну хотя бы для каких-либо неэлемментарных функций, что они действительно не могут быть выражены через конечное число суперпозиций, сумм, произведений и т.д. (элементарные действия) от обычных элементарных функций?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 06:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
1) Я выступаю в данном случае не как модератор, а как участник форума (я никогда не ставлю :evil: как модератор, это достаточно надежная примета). В подобном контексте ко мне можно обращаться запросто: незваный гость.

2) Вы положительно привели пример:
Sasha2 писал(а):
Ну разумеется исключить тривиальные случаи одних констант и линейных функций.

Он не замкнут — интеграл от линейной функции уже квадратичная. Поэтому я и сказал, что пример не правилен.

3) Уже ${\rm li}(x) = \int \frac{{\rm d}x}{\ln x}$ и $\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(x^2-1)}}$ являются неэлементарными функциями.

4) Не задумываясь, я не готов вспомнить примера доказательства невыразимости какой-либо функции через «элементарные».

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 19:22 


21/06/06
1721
Ну вот и с Вашим примером об интегральном логарифме. Хотелось бы узнать, как вообще доказывается, что эта функция не является элементарной. Ну вообще мне кажется, чо доказать можно, что та или иная функция интегрируется в элементарных, приведя этот интеграл. А вот обратное утверждение непонятно как доказать. Ну нельзя же перебрать все элементарные функции и показать, что ни одна не подходит. Если я ошибаюсь, пожалуйста, поправьте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
не ошибаетесь. Доказывать, действительно, не просто.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 19:49 


21/06/06
1721
Ну так может быть просто не очень усердно считали эти интегралы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Нет, потому что доказать всё-таки можно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Посмотрите, например, эту статью. Там доказывается, что функция $e^{x^2}$ не имеет элементарной первообразной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group