2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентная последовательность.
Сообщение11.08.2006, 13:00 


30/06/06
313
Пусть $a$ и $b$- два нечетных натуральных числа. Последовательность ${f_{n}}$
определяется следующим образом: $f_{1}=a$, $f_{2}=b,$ а при $n>2$ $f_{n}$
определяется как наибольший нечетный делитель $f_{n-2}+f_{n-1}.$ Докажите,
что для достаточно больших $n$ значение $f_{n}$ постоянно, и найдите это
значение как функцию от $a$ и $b.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность.
Сообщение11.08.2006, 13:41 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Imperator писал(а):
Пусть $a$ и $b$- два нечетных натуральных числа. Последовательность ${f_{n}}$
определяется следующим образом: $f_{1}=a$, $f_{2}=b,$ а при $n>2$ $f_{n}$
определяется как наибольший нечетный делитель $f_{n-2}+f_{n-1}.$ Докажите,
что для достаточно больших $n$ значение $f_{n}$ постоянно, и найдите это
значение как функцию от $a$ и $b.$

Очевидно, что все члены (являющиеся нечётными числами) не превосходят mаx(a,b) и максимум двух последующих не возрастающая последовательность, поэтому имеет предел , и этот предел является пределом для всей последовательности. Можно оценить и длину стабилизации, которая не превосходит квадрата от max(a,b).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 14:42 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
если строить данную последовательность получается что 3й и последующие элементы будут равны наибольшему общему делителю а и б.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 15:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Не всегда. Например берите одно из чисел равным 1, а другое $2^k+1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 16:17 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
невнимательно читал условие :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2006, 18:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
То, что все члены последовательности делятся на НОД(а,в) очевидно. Так как сам процесс выглядит как модифицированный алгоритм нахождения НОД, то и ответом должен быть он.
Пусть $c_n=(f_n,f_{n+1})$. Легко показать, что $c_{n+1}=c_n,c_1=c=gcd(a,b)$. Это доказывает, что последовательность стабилизируется на с.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group