Вариационное исчисление.

[finder]

При решении задач возникли некоторые трудности.

Простейшая задача ВИ: $\int_{0}^{\pi} x^2-4 \dot{x}^2+2xsin3t dt \to extr$ $x(0)=0, x(\pi)=1$
Найдена экстремаль.
При проверке на экстремум дошёл до $\Delta I = \int_{0}^{\pi} (h^2-4\dot{h}^2) dt$, причём $h(0)=0, h(1)=0$
Как в таком случае проверить на минимум/максимум?
Условие Лежандра не выполняется $L_{\dot{x}\dot{x}}=-8$ и условие Якоби применить нельзя.

Задача со старшими производными: $\int_{0}^{\pi/2} (\ddot{x}^2-x^2)dt \to extr$ $x(0)=1, x(\pi/2)=\dot{x}(\pi/2)=0$
Свёл к задаче ОУ.
При проверке на экстремум $\Delta I = \int_{0}^{\pi/2} (\ddot{h}^2-h^2)dt $ Как здесь оценить$\Delta I?
Буду благодарен за помощь.

[AD]

finder в сообщении #286630 писал(а):

Условие Лежандра не выполняется

Выполняется, только в другую сторону. Ясно, что тут уж точно не минимум: если пустить $h(t)=\frac1{n^2}\sin nt$, то будет что-то типа $\Delta I=\frac{C}{n}+O(\frac1{n^2})$ с $C<0$.

Поэтому подозревайте на максимум. Соответственно, условия перевёртываются.

[finder]

Всё, спасибо. Доказал через условия Вейерштрасса, что экстремаль доставляет сильный максимум.
Можно закрывать.