10 трудных задач со студенческих олимпиад

[Black_Queen152]

1. "Для любого $x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$ докажите, что $[x] + \left[ x + \frac 1 n \right ] + ... + \left[ x + \frac {n-1} n \right ] = [nx]$, где [x] - целая часть числа x."
[Пожалуй, самая интересная задача. Пробовала по-разному преобразовывать это равенство, но пока ничего не вышло. Наверное, решение должно быть красивым ]

2. "Вычислить $\int \frac {cos^{n-1} \frac {x + a} 2 } {sin^{n+1} \frac {x - a} 2 } dx$"
[Буду благодарна, если кто-нибудь подскажет, где можно найти советы, как брать различные интегралы, в которых есть функция в какой-то неизвестной степени n.]

Следующие две задачи, видимо, на самом деле нетрудные, просто у меня с ними сложности, потому что плохо умею обращаться с векторами. Может быть, кто-нибудь подскажет, что почитать, чтобы научиться решать такие задачи или где посмотреть решения подобных задач:

3. "Вектор $\vec{x}$, перпендикулярный к векторам $\vec {a} = (4,-2,-3)$ и $\vec {b} = (0,1,3)$ образует с осью Oy тупой угол. Зная, что $| \vec {x} | = 26$, найти его координаты."

4. "Найти вектор $\vec{x}$, зная, что он перпендикулярен к векторам $\vec {a} = (2,-3,1)$ и $\vec {b} = (1,-2,3)$ и удовлетворяет условию: $\vec{x}*(\vec{i} + 2 \vec{j} - 7 \vec{k}) = 10.$"

5. "Пусть функция f(x) на отрезке [0,1] дважды непрерывно дифференцируемая и f''(x)<0. Доказать, что $f \left( \frac 1 2 \right ) > \frac 1 2 f(0) + \frac 1 2 f(1).$"

6. "Пусть $f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ - многочлен с вещественными коэффициентами, который принимает целые значения при x = 0,1,...,n.
Доказать, что $\forall x \in \mathbb{Z}$ значение f(x) - целое число при:
а) n = 2;
б) n = 3;
в) при любом n."

7. "При каких вещественных a существует $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ для последовательности
$x_1 = a; x_{n+1} = x_n + x_n^2$, (n = 1,2,...)?"
[Мне кажется, что здесь ответ $a \in [-1;0]$, но нужно это доказать]

8. "Найти все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, у которых ее восьмая и тринадцатая производные совпадают с ней самой."
[Такими функциями, очевидно, являются $e^x$ и $f(x) \equiv 0$, но я не могу доказать, что это все функции, удовлетворяющие условию.]

9. "Таня и Петя играют на лекции по алгебре в следующую игру. Таня выписывает многочлен произвольной степени от одной переменной с неотрицательными целыми коэффициентами, не показывая его Пете. Петя может задавать Тане вопрос о том, какое значение у многочлена при данном целом значении переменной. За какое минимальное число вопросов Петя может узнать все коэффициенты многочлена?"
[По-моему, число вопросов здесь равно степени многочлена + 1: через две точки можно провести только одну прямую, через 3 - только одну параболу и так далее. Но непонятно, как дать этому строгое доказательство ]

А 10ю задачу не могу пока написать, потому что в ней используется обозначение точной нижней грани inf, под которым еще маленький текстик находится, наподобие $x \in A$ (текст находится именно под inf, а не как нижний индекс), так что как набрать такое в виде формулы, непонятно! А словами будет слишком длинно и запутанно

[Black_Queen152]

Ой! Кажется, в задаче №8 есть продвижение! Если 8я и 13 производная совпадают с исходной функцией, это значит, что и 5я совпадает! Потому что 5-я производная от 8й (т.е.13я) должна быть такой же, что и 5-я производная от исходной. Аналогично получаем, что и 8-5-я = 3-я производная совпадает с исходной функцией; также аналогично получается, что 5-3-я = 2я производная совпадает с исх.функцией и 3-2-я = 1я производная также совпадает с исх. функцией.
Т.о. условию задачи №8 удовлетворяют те и только те функции, производная которых совпадает с ними самими. Осталось доказать, что такими функциями являются только равная нулю и функция $e^x$, а для этого достаточно решить диф.уравнение f'(x) = f(x), а как его решить?

[ewert]

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

1. "Для любого $x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$ докажите, что $[x] + \left[ x + \frac 1 n \right ] + ... + \left[ x + \frac {n-1} n \right ] = [nx]$, где [x] - целая часть числа x."

Обозначьте $f(x)=\left([x] + \left[ x + \frac 1 n \right ] + ... + \left[ x + \frac {n-1} n \right ]\right)-nx$ и $g(x)=[nx]-nx$. Докажите, что обе эти функции а) имеют период ${1\over n}$ и б) совпадают на промежутке $[0;{1\over n})$.

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

3. "Вектор $\vec{x}$, перпендикулярный к векторам $\vec {a} = (4,-2,-3)$ и $\vec {b} = (0,1,3)$ образует с осью Oy тупой угол. Зная, что $| \vec {x} | = 26$, найти его координаты."

4. "Найти вектор $\vec{x}$, зная, что он перпендикулярен к векторам $\vec {a} = (2,-3,1)$ и $\vec {b} = (1,-2,3)$ и удовлетворяет условию: $\vec{x}*(\vec{i} + 2 \vec{j} - 7 \vec{k}) = 10.$"

Здесь вообще нет ничего олимпиадного в принципе: просто тупо составляем три уравнения для трёх неизвестных координат искомого вектора (ортогональность равносильна тому, что скалярное произведение равно нулю). Во втором случае уравнения получаются просто линейными, а в первом выйдет два линейных и одно квадратное, что тоже не страшно. (Вообще-то в первом лучше решать не через скалярное, а через векторное произведение, но это выходит за рамки школьной программы.)

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

5. "Пусть функция f(x) на отрезке [0,1] дважды непрерывно дифференцируемая и f''(x)<0. Доказать, что $f \left( \frac 1 2 \right ) > \frac 1 2 f(0) + \frac 1 2 f(1).$"

Ещё одна странная задача. Первое утверждение означает, что функция выпукла вверх, а второе -- это просто частное проявление этой выпуклости.

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

6. "Пусть $f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ - многочлен с вещественными коэффициентами, который принимает целые значения при x = 0,1,...,n.
Доказать, что $\forall x \in \mathbb{Z}$ значение f(x) - целое число при:
а) n = 2;
б) n = 3;
в) при любом n."

Двойная индукция. Многочлен $f^{(1)}(x)\equiv f(x+1)-f(x)$ имеет степень $(n-1)$ и принимает целые значения в точках $0,1,2,\ldots,(n-1)$ -- а значит (по индукционному предположению) и вообще во всех целочисленных точках. Но тогда, в частности, целочисленно и $f(n+1)=f(n)+f^{(1)}(n)$. Далее, из целочисленности $f(x)$ в точках $1,2,\ldots,(n+1)$ аналогичным образом следует целочисленность $f(n+2)$ и т.д.. Движение в отрицательную сторону аналогично, или просто сводится к движению вправо заменой $t=n-x$.

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

7. "При каких вещественных a существует $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ для последовательности
$x_1 = a; x_{n+1} = x_n + x_n^2$, (n = 1,2,...)?"
[Мне кажется, что здесь ответ $a \in [-1;0]$, но нужно это доказать]

Ответ правильный. А доказывать надо (исходя из графиков $y=x+x^2$ и касательного к нему $y=x$), что:
1) правее нуля последовательность лесенкой уходит на бесконечность;
2) если начальное приближение правее вершины параболы, но левее нуля, то последовательность аналогичной лесенкой стремится к нулю;
3) если начальная точка левее минус единички, то следующее приближение уже больше нуля;
4) если начальное приближение между минус единицей и вершиной, то следующее окажется уже между вершиной и нулём.

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

8. "Найти все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, у которых ее восьмая и тринадцатая производные совпадают с ней самой."
[Такими функциями, очевидно, являются $e^x$ и $f(x) \equiv 0$, но я не могу доказать, что это все функции, удовлетворяющие условию.]

Точнее говоря, общее решение -- это $C\,e^x$ с произвольной постоянной $C$, в т.ч. и с нулевой. Просто потому, что среди всевозможных значений корня 8-й степени из единицы и корня 13-й степени общее только одно -- сама единица. Снова непонятно, в чём тут олимпиадность; ну разве что в формальном обосновании отсутствия других решений, но это достаточно очевидно следует из линейной независимости базисных функций.

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

А 10ю задачу не могу пока написать, потому что в ней используется обозначение точной нижней грани inf, под которым еще маленький текстик находится, наподобие $x \in A$

$\inf\limits_{x\in A}$

$\inf\limits_{x\in A}$

-- Пт янв 29, 2010 09:56:29 --

Black_Queen152 в сообщении #284337 писал(а):

Т.о. условию задачи №8 удовлетворяют те и только те функции, производная которых совпадает с ними самими. Осталось доказать, что такими функциями являются только равная нулю и функция $e^x$, а для этого достаточно решить диф.уравнение f'(x) = f(x), а как его решить?

Вам ведь не столько решить его нужно (решение Вам известно), сколько доказать, что других решений нет. Ну например так. Из уравнения следует, что функция не меняет знак (например, если она в некоторой точке положительна, то возрастает и, следовательно, нигде правее обратиться в ноль не сможет). Поэтому корректна замена $g(x)=\ln|f(x)|\ \Leftrightarrow\ f(x)=\pm e^{g(x)}$. Тогда $f'(x)=f(x)\ \Leftrightarrow\ \pm e^{g(x)}\cdot g'(x)=\pm e^{g(x)}\ \Leftrightarrow\ g'(x)\equiv1$, а уж с последним-то всё ясно: $g(x)=x+\mathrm{const}$.

Только это нелепо -- доказывать кустарными средствами стандартную теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения, да ещё и для частного случая.

[meduza]

Black_Queen152
1) Это тождетсво доказано в "Конкретной Математике".

[terminator-II]

до чего пакостная книжка, не даром Арнольду нравится

[Black_Queen152]

Какой подробный ответ!
ewert, спасибо, постараюсь разобраться...
К сожалению, почему-то не могу отредактировать содержимое своего первого поста в теме. А надо было бы поменять название на просто "10 задач со студенческих олимпиад", а то оказалось, что вроде как не трудными считаются они...
Да и дописать условие 10й задачи:

10. "Напомним, что если $f : A \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная ограниченная снизу функция на множестве A (любое непустое множество), то $\alpha = \inf\limits_{x\in A} f(x)$ - наибольшее вещественное число, для которого $f(x) \geqslant \alpha$ при всех x. Предположим, что F(x,y) - вещественнозначная ограниченная снизу функция от двух переменных $x \in A$ и $y \in B$ (A, B - любые непустые множества). Доказать, что $\inf\limits_{x\in A}(\inf\limits_{x\in B} F(x,y)) = \inf\limits_{x\in B}(\inf\limits_{x\in A} F(x,y))$."

Возможно, эта задача тоже легкая на самом деле? Просто я никогда еще не решала задачи такого вида. Но, надеюсь, что пойму ее решение, по крайней мере, попробую. По крайней мере, я понимаю ее условие (что формально означает "ограниченная функцкия", "inf", "sup" и т.д.) и имею представление о том, как проводятся доказательства "на языке эпсилон-дельта". Право, в этих доказательствах есть даже нечто привлекательное...

Спасибо и двум другим участникам, которые откликнулись! Посмотрю это доказательство, если не сумею самостоятельно доказать с подсказкой...

Кстати, вчера прикупила интересную книжечку - "задачи студенческих олимпиад по математике". Один из ее авторов - ректор МГУ Садовничий. Больше всего мне понравилось в книге наличие решений к задачам и даже некоторого количества справочного материала. Это здорово, когда можно узнать решения ни-в-какую-не-решаемых задач и даже почитать материал, который может натолкнуть на правильную мысль при самостоятельном решении или помочь понять решение какой-нибудь особо мегамудрой задачи. Кто-нибудь уже читал эту книжку?

[Padawan]

(Оффтоп)

Black_Queen152 в сообщении #284594 писал(а):

и имею представление о том, как проводятся доказательства "на языке эпсилон-дельта". Право, в этих доказательствах есть даже нечто привлекательное...

Побольше бы народу так думало А то все на пальцах да на пальцах, так и ошибиться легко (по себе сужу)

[ewert]

Black_Queen152 в сообщении #284594 писал(а):

10. "Напомним, что если $f : A \to \mathbb{R}$ - вещественнозначная ограниченная снизу функция на множестве A (любое непустое множество), то $\alpha = \inf\limits_{x\in A} f(x)$ - наибольшее вещественное число, для которого $f(x) \geqslant \alpha$ при всех x. Предположим, что F(x,y) - вещественнозначная ограниченная снизу функция от двух переменных $x \in A$ и $y \in B$ (A, B - любые непустые множества). Доказать, что $\inf\limits_{x\in A}(\inf\limits_{x\in B} F(x,y)) = \inf\limits_{x\in B}(\inf\limits_{x\in A} F(x,y))$."

Возможно, эта задача тоже легкая на самом деле?

Во всяком случае, она -- тоже не олимпиадная. Докажите, что левая часть равна инфимуму по всем парам $(x,y)$ (тогда в силу симметричности утверждения это же верно и для правой части). Для этого воспользуйтесь тем, что инфимум -- это точная нижняя граница, т.е. что существуют значения, сколь угодно приближающиеся к инфимуму сверху (или совпадающие с ним).

[kahey]

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

1. "Для любого $x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}$ докажите, что $[x] + \left[ x + \frac 1 n \right ] + ... + \left[ x + \frac {n-1} n \right ] = [nx]$, где [x] - целая часть числа x."
[Пожалуй, самая интересная задача. Пробовала по-разному преобразовывать это равенство, но пока ничего не вышло. Наверное, решение должно быть красивым ]

Положим
$y=[x]$
$e=x-y$
Т.к. e<1, то $[e+\frac {n-1}{n}]<2$
Cуществует такое k, что
$\frac {k+1}{n}>e>=\frac {k}{n}$, тогда
$[x]+\frac{n-t}{n}}=y+1$. для t<=k
и
$[x]+\frac{n-t}{n}}=y$. для t>k
Тогда
$[x] + \left[ x + \frac 1 n \right ] + ... + \left[ x + \frac {n-1} n \right ] = ny+n-k$
С другой стороны
$[nx]=[(y+e)n]=ny+[en]$
$n-k+1>en>=n-k$, поэтому $[ne]=n-k$

-- Сб янв 30, 2010 22:22:25 --

Black_Queen152 в сообщении #284331 писал(а):

2. [i]"Вычислить $\int \frac {cos^{n-1} \frac {x + a} 2 } {sin^{n+1} \frac {x - a} 2 } dx$
[Буду благодарна, если кто-нибудь подскажет, где можно найти советы, как брать различные интегралы, в которых есть функция в какой-то неизвестной степени n.]

$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx=\frac{sin(x)*cos^{n-2}(x)}{sin^{n+1}(x)}-\int \frac{(n-2)*cos^{n-3}(x)}{sin^{n-1}(x)}dx+\int \frac{(n+1)*cos^{n-1}(x)}{sin^{n+1}(x)}dx$

[Black_Queen152]

Уф... потихонь разбираюсь с решениями. Пока разобрала решение 1й задачи по схеме, предложенной ewert, с 8 теперь тоже все понятно. Что делать в 7й, пока до конца не поняла (точнее, не понятно, как использовать предложенные графики - то, что при a > 0 и a < -1 последовательность расходится, получилось проверить и без них).

Цитата:

$y=[x]$
$e=x-y$
Т.к. e<1, то $[e+\frac {n-1}{n}]<2$
Cуществует такое k, что
$\frac {k+1}{n}>e>=\frac {k}{n}$, тогда
$[x]+\frac{n-t}{n}}=y+1$. для t<=k

Из последнего равенства следует $[x] + 1 - \frac {t}{n}}=[x] + 1$,
$\frac {t} {n} = 0.$. То есть любой t меньше либо равный k, равен 0. То есть k = 0. И что это такое? Опечатка где-то в формуле?

Цитата:

$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx=\frac{sin(x)*cos^{n-2}(x)}{sin^{n+1}(x)}-\int \frac{(n-2)*cos^{n-3}(x)}{sin^{n-1}(x)}dx+\int \frac{(n+1)*cos^{n-1}(x)}{sin^{n+1}(x)}dx$

Ой! Если честно, не понимаю, откуда это взялось и для чего нужно! Нужно ведь добиться того, чтобы интегралов не осталось, а тут они наоборот процветают Мне бы как-нибудь попроще объяснить попробуйте

[ewert]

Black_Queen152 в сообщении #284878 писал(а):

Что делать в 7й, пока до конца не поняла (точнее, не понятно, как использовать предложенные графики - то, что при a > 0 и a < -1 последовательность расходится, получилось проверить и без них).

Графики позволяют сориентироваться в ситуации -- по ним видно, что при начальном приближении правее вершины параболы последовательность монотонно возрастает (кроме, конечно, тождественно нулевой), и что отрицательные числа остаются при этом отрицательными. (Сами по себе эти факты легко доказываются, конечно, и без графиков, но ведь сначала надо ж их увидеть.) Теперь расходимость положительной последовательности и сходимость к нулю отрицательной надо, конечно, доказывать уже аналитически, и это действительно нетрудно. Во втором случае сходимость следует просто из монотонности и ограниченности, предел же ничем, кроме нуля, быть, естественно, не может.

[kahey]

Black_Queen152 в сообщении #284878 писал(а):

Уф... потихонь разбираюсь с решениями. Пока разобрала решение 1й задачи по схеме, предложенной ewert, с 8 теперь тоже все понятно. Что делать в 7й, пока до конца не поняла (точнее, не понятно, как использовать предложенные графики - то, что при a > 0 и a < -1 последовательность расходится, получилось проверить и без них).

Цитата:

$y=[x]$
$e=x-y$
Т.к. e<1, то $[e+\frac {n-1}{n}]<2$
Cуществует такое k, что
$\frac {k+1}{n}>e>=\frac {k}{n}$, тогда
$[x]+\frac{n-t}{n}}=y+1$. для t<=k

Здесь скобку не там поставил.
правильно будет:
$[x+\frac{n-t}{n}}]=y+1$. для t<=k [/quote]

[Black_Queen152]

kahey в сообщении #284893 писал(а):

Здесь скобку не там поставил.
правильно будет:
$[x+\frac{n-t}{n}}]=y+1$. для t<=k

Спасибо, теперь, кажется, разобралась в решении! Кстати, в следующей строчке тоже нужно аналогично исправить положение скобки.
А еще можно уточнить:
$n \geqslant t \geqslant 0$

Ну вот, в итоге уже знаю целых два решения 1й задачи!

-- Пт фев 05, 2010 15:00:32 --

С 7й тоже более-менее понятно...

[BapuK]

Black_Queen152 в сообщении #284878 писал(а):

Цитата:

$\int \frac {cos^{n-1} x } {sin^{n+1} x} dx=\frac{sin(x)*cos^{n-2}(x)}{sin^{n+1}(x)}-\int \frac{(n-2)*cos^{n-3}(x)}{sin^{n-1}(x)}dx+\int \frac{(n+1)*cos^{n-1}(x)}{sin^{n+1}(x)}dx$

Ой! Если честно, не понимаю, откуда это взялось и для чего нужно! Нужно ведь добиться того, чтобы интегралов не осталось, а тут они наоборот процветают Мне бы как-нибудь попроще объяснить попробуйте

взялись они из интегрирования по частям, и если перенести последний интеграл в левую часть равенства, то что у синуса, что у косинуса понизится степень на 2, после некоторого количества шагов, интегралы должны будут исчезнуть
Надеюсь, правильно передал мысль

[kahey]

Абсолютно верно.