Задача на механику

[Akaya]

К идеально гладкой стене прислонили тонкий стержень длиной 1 м так, что угол между идеально гладким полом и стержнем составляет 30граусов. Стержень отпускают, после чего он начинает соскальзывать. Найти горизонтальную скорость после соскальзывания.

Для начала расписала все силы. Есть две силы реакции опоры (от крайних точек стержня) и сила тяжести (приложена к ц.м.)

Раз стержень падает, значит есть ускорение? Если да, то к какой оно точке приложено и куда направлено?
Дайте идею к решению, хочу все-таки разобраться сама

[Roman Voznyuk]

Вы все правильно начали делать.
Если с реакцией пола понятно: ее порождает сила тяжести, то что порождает реакцию стенки?
Собственно сила реакции стенки и приводит к горизонтальному ускорению.
А рекция стенки возникает в результате действия момента силы тяжести вокруг точки касания пола (мгновенного). Для этого вам и даны длина и начальный угол.

[gris]

а нельзя ли тут через сохранение энергии?

[meduza]

gris в сообщении #286243 писал(а):

нельзя ли тут через сохранение энергии?

Тупо в лоб -- потенциальная в кинетическую? Нельзя, т. к. часть изначальной потенциальной энергии уйдет в энергию вращения, которая после падения стержня потеряется.

Идея Roman Voznyuk правильная: второй закон Ньютона и уравнение моментов. Возможно ещё понадобится какое-нибудь уравнение кинематической связи, а может и нет (сам задачу не решал).

[ewert]

Пока стержень в своём падении опирается не только на пол, но и на стенку, его движение складывается из поступательного движения центра масс (по окружности) и вращения вокруг центра масс. Суммарная кинетическая энергия этих движений, действительно, равна изменению потенциальной энергии центра масс. Угловая скорость вращения при этом пропорциональна линейной скорости центра масс (собственно, угловая скорость вращения равна угловой скорости движения центра масс по окружности). Поэтому математически всё сводится просто к соскальзыванию материальной точки по гладкой окружности, соответствующему некоторому эффективному ускорению свободного падения (меньшему, чем $g$).

Но тут подвох вот в чём. Такое соскальзывание не может продолжаться до самого пола. Только до тех пор, пока суммарное (центростремительное плюс касательное) ускорение направлено вниз и вправо (т.е. пока сила реакции направлена наружу от окружности). Как только скорость увеличится до определённого значения -- ускорение окажется вертикальным; а это означает, что материальная точка сорвётся с окружности и полетит дальше по параболе. Для самого стержня это соответствует отрыву его левого конца от стенки. Дальше его горизонтальная скорость меняться уже не будет, а вертикальная нас не волнует.

Вот этот момент и нужно поймать.

-----------------------------------------
Если ничего не напутал, то ответ: $v_x=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{\widetilde g\,R}{3}}$, где $R=\dfrac{1}{2}\;\textit{м}$ и $\widetilde g=\dfrac{3}{4}\,g$.

[gris]

Дальнейшее оффтоп по отношению к самой задаче, прошу прощения у мудрой Akaya.

Хотелось бы пофантазировать, куда ушла потенциальная энергия.
Вернее, её остаток.
Мне представляется, что при абсолютно упругом ударе стержня о пол, стержень будет двигаться вперёд, бесконечно подскакивая. Типа мячика, который бросили на пол под углом.
При неупругом ударе энергия стержня будет постепенно уходить в теплоту. Но вот вопрос - остановится ли стержень при неупругом ударе, но при отсутствии трения. То есть не будет ли неупругий удар отнимать горизонтальную часть кинетической энергии? Или же нет такой части?
Тот же прыгающий мячик. Для неупругого удара мы получим ряд отрезков. Может ли он быть расходящимся при некоторой зависимости потери энергии при каждом скачке.

[Roman Voznyuk]

gris в сообщении #286283 писал(а):

Хотелось бы пофантазировать, куда ушла потенциальная энергия.
Вернее, её остаток.

Думаю что задача предполагает, что потерей энергии при касании пола можно пренебречь, типа между стеной и полом имеется "достаточное скругление.
Это по аналогии со школьной задачи о бруске, сползающем с наклонной плоскости, там в месте перехода наклонной плоскости в горизонтальный участок возникает та же самая проблема. Обычно в условии задач говоритс что эти можно пренебречь, а если нет, то сообщаются дополнительные сведения о характере удара.

[gris]

Кстати, интересная задача - найти форму стенки, при которой не будет отрыва пограничного слоя стержня. Но если нет удара и дальнейших подскоков, то куда же девалась потенциальная энергия?

[Roman Voznyuk]

gris в сообщении #286287 писал(а):

Но если нет удара и дальнейших подскоков, то куда же девалась потенциальная энергия?

Вся в кинетическую энергию горизотального движения и ушла.
В принципе я бы так и стал решать, но вопрос был про силы, потому я и пыталсся объяснить откуда все эти силы берутся и как надо решать этим способом.

[ewert]

gris в сообщении #286283 писал(а):

То есть не будет ли неупругий удар отнимать горизонтальную часть кинетической энергии? Или же нет такой части?

Нет такой части, конечно. В том смысле, что закон сохранения энергии не является векторным. Но зато векторный характер имеет закон сохранения импульса. Вот он-то по горизонтали и будет сохраняться.

Roman Voznyuk в сообщении #286288 писал(а):

Вся в кинетическую энергию горизотального движения и ушла.

Не вся.

[gris]

Но если предположить, что стержень не оторвётся от вертикальной стенки, то он упадёт строго вертикально. Откуда тогда появится горизонтальная составляющая? Интересно, а если закрепить левый конец на стенке без трения?
Я подозреваю, что в Яблонском разобрано подобное, но нету под рукой. (как тут писали - у мну миниопера, не могу формулы писать)

[ewert]

gris в сообщении #286291 писал(а):

Но если предположить, что стержень не оторвётся от вертикальной стенки, то он упадёт строго вертикально.

В некотором смысле да. Но ведь это-то как раз и немыслимо: горизонтальная составляющая импульса может только возрастать. Соответственно, стержень не оторваться не может.

[gris]

Ну так я правильно представил прыгающий удаляющийся стержень?

[ewert]

Да.

[gris]

ЕССССССССССССССССССССС!