Мощность интересного фактормножества действительных чисел

[Lafa]

Введём отношение эквивалентности на $\mathbb R$: $x \sim y \iff x - y \in \mathbb Q$.
Какова мощность фактормножества этого отношения?
Уверен, что оно континуально, только как доказать, пока в голову не идёт...

[AD]

Ясно, что $|\mathbb{R}|=|\mathbb{Q}|\cdot|\mathbb{R}/\mathbb{Q}|$

[Lafa]

Т. е. можно сказать, что доказывать будем от противного, каждый класс эквивалентности счётен, и если бы их было счётно, то тогда и всё $\mathbb R$ было счётно. Но, в принципе, это доказывает только то, что фактормножество более чем счётно, почему бы ему не быть мощности менее континуума?
Как-нибудь без континуум-гипотезы должно же оно доказываться...

[AD]

$\cdots=\max\{|\mathbb{Q}|,|\mathbb{R}/\mathbb{Q}\}$

Ну вроде очевидно, что если $A,B$ - бесконечные множества, то $|A|\cdot|B|=\max\{|A|,|B|\}$ (ну если считать очевидным, что $|A^2|=|A|$ (что совсем не очевидно, но общеизвестно))

[Lafa]

Да, формулировку этого факта я знаю... Но что нам даёт то, что $|\mathbb R| = \max\{|\mathbb Q|, |\mathbb R/\mathbb Q|\} = c$?

[AD]

Это очень простой вопрос. Даю несколько минут еще подумать.

[Профессор Снэйп]

$|\mathbb{R}/\mathbb{Q}| = |\mathbb{R}/\mathbb{Z}| = |[0,1)| = c$

Это если совсем по децки, не вдаваясь в общую теорию. А если вдаваясь, то AD всё чётко написал.

-- Вт фев 02, 2010 01:32:03 --

Кстати, без аксиомы выбора доказать $(x \cdot \aleph_0 = c) \Rightarrow (x = c)$ вроде бы не удастся. Хотя точно не уверен.

[Lafa]

Я, наверное, совсем туплю... Я понимаю, что $|\mathbb R/\mathbb Q| = c$. Но что нам это даёт? Мощность фактормножества же не $\mathbb R/\mathbb Q$!

[Профессор Снэйп]

Lafa в сообщении #285050 писал(а):

Я, наверное, совсем туплю...

Мама мыла раму. Маша ела кашу.

Виктор Пелевин писал(а):

И как же ты, Петька, дошёл до жизни такой, что спрашиваешь меня, своего боевого командира, верно ли, что всё, происходящее у тебя в голове, происходит у тебя в голове?

[Lafa]

Наверное, вы неправильно поняли мой вопрос... Как из того, что $|\mathbb R/\mathbb Q| = c$ следует то, что фактормножество континуально?

Я, честно говоря, вообще пока не понимаю, как связано $\mathbb R/\mathbb Q$ и фактормножество.. Фактормножество - это множество классов эквивалентности по нашему отношению, верно же?

[AD]

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ - фактормножество. $|\mathbb{R}/\mathbb{Q}|$ - его мощность.
Ня?

[Lafa]

Пф.. Почему $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ - фактормножество? Фактормножество - это множество классов эквивалентности, я правильно понимаю?

[Профессор Снэйп]

А $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ что такое?

[AD]

Ну. А обозначается так. Вы путаете с $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, что-ли?

[Lafa]

А... Да, видимо путаю. Прошу меня простить. То есть $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ - обозначение для этого фактормножества. Буду знать теперь.

Хорошо, тогда действительно возникает вопрос, почему $|\mathbb{Q}|\cdot|\mathbb{R}/\mathbb{Q}| = \max\{|\mathbb{Q}|,|\mathbb{R}/\mathbb{Q}\/}$, если без континуум-гипотезы.. До этого то я и сам дошёл , дальше возник этот вопрос.