Сосредоточенная сила в упругой полуплоскости.

[Андрей123]

Решаю динамическую задачу о воздействии сосредоточенной силы в упругой полуплоскости. Сосредоченную силу заменяю функцией распределения объемных сил из дельтаобразной последовательности. Вторуюпроизводную по времени заменяю конечной разностью. В итоге получается явный метод Эйлера. На каждом шаге решаю задачу методом конечных элементов. В итоге численное решение довольно на много отличается от точного. Чем это может объясняться?

[Zai]

В Вашей задаче перед решением динамической задачи необходимо проверить решение на установление. Используйте параметр динамической релаксации, когда скорость на следующем временном слое равняется 0.995(лет 20 назад этого было достаточно - сейчас не знаю - сетки другие не считал) от предыдущей. Ввиду наличия особенности в точке действия силы, сравнение лучше делать по смещению на некотором расстоянии от точки приложения силы. Если решение сойдется с аналитическим тогда следующим шагом можно обсуждать проблемы сходимости и с динамическим решением.

[Андрей123]

Спасибо. Сравнение, конечно же, провожу на расстоянии от действия силы, и не совпадает. А где можно почитать про параметр релаксации и что он дает?

-- Пт янв 08, 2010 23:10:56 --

А еще непонятно, если в начальный момент скорость нулевая, то она будет нулевой и на остальных шагах. В моем случае расчетная схема выглядит следующим образом(в первом посте ошибся, получается неявный мето Эйлера):
$\frac{\overrightarrow{u}_{n+2}-2\overrightarrow{u}_{n+1}+\overrightarrow{u}_{n}}{{\Delta t}^2}=D \overrightarrow{u}_{n+2}+\overrightarrow{f}$. А как будет выглядеть схема с параметром релаксации? Я так понимаю силу надо брать постоянной по времени, а решение сравнивать со статическим?

[Zai]

Явная схема
$\frac{\overrightarrow{u}^{(n+1)}-2\overrightarrow{u}^{(n)}+\overrightarrow{u}^{(n-1)}}{{\Delta t}^2}=D \overrightarrow{u}^{(n)}+\overrightarrow{f}$
Или
$a^{(n)}=D \overrightarrow{u}^{(n)}+\overrightarrow{f}$
$\frac {v^{(n+1)}-v^{(n)}} {\Delta t}=a^{(n)} $
$\frac {u^{(n+1)}-u^{(n)}} {\Delta t}=v^{(n)} $
Явная схема с параметром релаксации
$a^{(n)}=D \overrightarrow{u}^{(n)}+\overrightarrow{f}$
$\frac {v^{(n+1)}-0.995*v^{(n)}} {\Delta t}=a^{(n)} $
$\frac {u^{(n+1)}-u^{(n)}} {\Delta t}=v^{(n)} $
Кинетическая энергия и импульс преднамеренно изимается из системы, при этом решение сходится к некоторому стационарному решению. Это один из общепринятых методов решения задач на установление. Используется в алгоритмах DYNA3D.

[Андрей123]

Спасибо попробую. Но тут еще вот в чем может быть проблема. Компонента перемещений статической задачи по направлению действия силы на бесконечности уходит в бесконечность из-наличия составляющей $\ln{\frac{1}{r}}$. При численном же моделировании мы закрепляем нижнюю границу.

[Andrey_97]

Статически без всяких численных методов все аналитически давно дано у Мусхелишвили. В букваре "Основные математические задачи теории упругости".

[Андрей123]

Я это знаю. Задача нужна была как тестовая.

[a_misch]

А можете подсказать, где можно посмотреть аналитическое решение динамической задачи о воздействии сосредоточенной силы в упругой полуплоскости?

Заранее спасибо.

[Zai]

Это "Осесимметричная динамическая задача Лэмба" - стр. 705 книги В. Новацкого Теория упругости, Мир, Москва, 1975, 872 стр.

[a_misch]

Спасибо, но это обобщение задачи Буссинеска на динамический случай, а хотелось бы посмотреть решение задачи Миндлина (стр. 238 Новацкий) в динамическом случае.

[Андрей123]

Я ошибся в названии темы. Точное решение бралось для упругой плоскости, и это было решение Кельвина. Может и Вас на первом приближении устроит это решение, или важно именно влияние поверхности. Еще в google нашел вот такую ссылку http://www3.interscience.wiley.com/journal/114026248/abstract?CRETRY=1&SRETRY=0. Но там полупространство.