Необыкновенный многочлен.

[Imperator]

Если $P(x)$ - многочлен степени n, что $P(x)=2^{x}$ для $x=1, 2, 3, ..., n+1,$ то
чему равняется $P(n+2)$?

[ИСН]

Вроде как 2^{n-2}-1

[Руст]

По моему нет. Получаем

$$P(x)=\sum_{i=1}^{n+1} 2^i\frac{(x-1)...(x-n-1)}{(x-i)(i-1)...(i-n-1)}.$$

Соответственно

$$P(n+2)=\sum_{i=0}^n \frac{(n+1)!2^{i+1}(-1)^{n-i}}{(n+1-i)i!(n-i)!)}=2\sum_{i=0}^n 2^iC_{n+1}^i(-1)^{n-i}.$$

Добавляя член i=n+1 и учитывая что это даст разложение (2-1)^(n+1)=1 получим

$$P(n+2)=2^{n+2}-2\sum_{i=0}^{n+1} C_{n+1}^i(-1)^{n+1-i}=2^{n+2}-2.$$

[ИСН]

Тьфу. Разумеется, я хотел сказать 2^{n+1}-1, а думал при этом про полином, принимающий красивые значения в точках x=0,1,...,n, то есть не как в условии, а сдвинутый на единичку. Выписал явно несколько первых полиномов - смотрю - вроде так...

[Руст]

То, что вы написали $2^{n+1}-1$ ни при каком n не совпадает с ответом 2n+2.

[Imperator]

Ответ $2^{n+2}-2$ является правильным.

[Руст]

Исправил свою оплошность. Мне кажется можно решить и не прибегая к формуле интерполяции.

[Руст]

Нашёл более красивое решение:

$$P(x)=2^x=2(1+1)^{x-1}=2\sum_{i=0}^nC_{x-1}^i.$$

Ясно, что это многочлен (биномиальные коэффициенты равны 0 когда верхний аргумент больше и являются многочленами от нижнего аргумента).
Подстановка сюда x=n+2+k даёт

$$P(n+2+k)=2^{n+2+k}-2\sum_{i=0}^k C_{n+1+k}^i2^i,$$

в частности

$$P(n+2)=2^{n+2}-2,P(n+3)=2^{n+3}-2-4(n+2),P(n+4)=2^{n+4}-2-4(n+3)-4(n+3)(n+2)$$

[Imperator]

Руст
Очень красивое решение. Спасибо Вам за него. Я получил массу удовольствия.
Браво!