Интересная задача на ряды

[MTV]

Доказать, что если знакоположительный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{r_n}}$ сходится, а $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{r_n}$ расходится, где $r_n = \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k$.

Подкиньте пожалуйста основную идею, никак не могу подступиться к задаче.

[ИСН]

Исправьте off-by-one опечатку. В таком виде, как сейчас, это неверно (контрпример - $2^{-3^n}$).
Задача, да, интересная.

[MTV]

ИСН
Не очень понял, о какой очепятке идет речь. В источнике задача сформулирована именно так...

[ИСН]

А идея, как я прозреваю, состоит в том, чтобы как-то увязать эти суммы с интегральными суммами следующих интегралов: $\int\limits_0^1 {dx\over\sqrt x}$ и $\int\limits_0^1 {dx\over x}$.

[Sasha2]

А такое не подойдет:
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{r_n}} $ расходится, то $\frac{1}{r_n}$ стремится бесконечности. В противном случае, оценка $\frac{a_n}{r_n}\leq{\frac{1}{2}({a_n}^2+\frac{1}{{r_n}^2})}$

[milkwacko]

Sasha2, $\frac{1}{r_n}$ вcегда расходится, ибо:
S = $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = S_n + r_n$ и $S_n \to S$, т.е. $r_n \to 0$

И кроме того, почему из расходимости $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{r_n}$ следует, что $\frac{1}{r_n} \to \infty$?

[MTV]

ИСН
Идея интегральных сумм интересна, попробую поковырять. По крайней мере есть некие сходства со степенями.

Sasha2
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{r_n}}$ расходится всегда, т.к. $r_n \to 0$. А оценка не очень понятно зачем, т.к. мы оценили ряд сверху расходящимся. Или я не понял, что вы имеете в виду?

----
// ну вот, предыдущий оратор меня опередил))

[Sasha2]

Вижу свою ошибку, признаюсь погорячился.
А вот уважаемый ИСН оказался прав.
Ваша задача полностью решена в Фихтенгольце, том 2, пункт 375, пример 4) (Признак Абеля-Дини)

[MTV]

ох, ну тогда у меня никаких вопросов нету! огромное спасибо!)))

[MTV]

Прошу прощения, вопросы-таки есть. Уставился в страницу и никак не могу понять, на каких основаниях уважаемый Фихтенгольц делает такие махинации в указанном Вами, Sasha2, примере. (пример, который аналогичен моему, только в знаменателе $n$-ая частичная сумма $D_n$, а в числителе общий член $d_n$ расходящегося ряда).
Он доказывает сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{d_n}{D_n^{1+\sigma}}$.
Для это ряда он рассматривает интеграл $\int \frac{dx}{x^{1+\sigma}}$.
Объясните пожалуйста, на каких основаниях он рассматривает этот интеграл для применения интегрального признака? Чисто геометрически мне это не очень понятно.

[Sasha2]

Ну там еще есть и пример 5), который и есть Ваш случай, а доказывается этот пятый аналогично 4).
Но читать так, как Вы это пытаетесь, конечно, не стоит.
Нужно внимательно и аккуратненько прочитать весь пункт 375, это первое.
Ну а что там непонятного. Взял он интеграл, от завелдомо положительной функции и применил формулу конечных приращений.
Осалось только понять, как выражается общий член ряда через разность двух соседних остатков.
Больше то там по сути ничего нет.

[MTV]

Хотелось бы вернуться к этой задаче. Решение понял, осмыслил, все получилось.
Однако заинтересовался контрпримером, который предложил ИСН: $a_n = 2^{-3^n}$.
Ведь в самом деле, хоть и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}}$ будет сходиться всегда, однако же ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{r_n}}$ - не всегда сходится, и по всей видимости контрпример, предложенный вышеупомянутым оратором, как раз сюда подходит.
Подскажите пожалуйста, как грамотно сделать оценку, чтобы убедиться в корректности контрпримера?
Всякие Коши и Даламберы тут, я чувствую, ничем не помогут.

[Ryabsky]

А может быть так же, как Вы пытались доказать ранее, пристроить сюда интегральный признак, м?...

[RIP]

Да ничего тут не надо пристраивать. Последовательность $a_n=2^{-3^n}$ убывает настолько стремительно, что $r_n$ --- это практически то же самое, что и $a_{n+1}$. Если формально, то: поскольку $a_{n+1}/a_n<1/2$, то $a_{n+1}<r_n<a_{n+1}(1+1/2+1/4+\ldots)=2a_{n+1}$. Поэтому $a_n/\sqrt{r_n}\asymp a_n/\sqrt{a_{n+1}}=2^{1/2\cdot3^n}$ и ряд расходится с чудовищной скоростью.