Неопределённый интеграл и интегрирование ''по частям''

[Someone]

Руст писал(а):

Можно записать с одной константой $\ln |x| +C$,

Не понял, как две различных константы заменить одной. Я знаю, конечно, что пишут всегда одну, и сам так пишу, но это просто маскирует истинное положение дел. Теорема об общем виде первообразной верна только для связной части числовой прямой, например, для интервала или отрезка.

Руст писал(а):

однако здесь надо иметь в виду, что при переходе к определённым интегралам оба конца должны быть с одной стороны разрыва (иначе отсутствует даже сходимость).

Безусловно. Там в формулировке теоремы о формуле Ньютона - Лейбница

$$\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$

обычно предполагается, что $F'(x)$ существует и удовлетворяет условию $F'(x)=f(x)$ на всём отрезке $[a,b]$. Некоторые обобщения этой теоремы возможны, но их лучше здесь не трогать.

[Really]

Someone писал(а):

Ну что, всех удовлетворило объяснение, что "неопределённые интегралы равны с точностью до константы"? Упражнения photonа показывают, что это объяснение не совсем удовлетворительно.

Ну а что тут еще можно прибавить? Там где photon написал

photon писал(а):

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы

как раз и кроется "мелкая" логическая неточность. Когда мы приравниваем две первообразные, как в примере photon'а или моем, мы понимаем это равенство с точностью до какой-то константы. Сбивает с толку здесь как раз слово произвольные, которое уместно при определении первообразной, но в данном случае его употребление ошибочно.

[Руст]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

Можно записать с одной константой $\ln |x| +C$,

Не понял, как две различных константы заменить одной. Я знаю, конечно, что пишут всегда одну, и сам так пишу, но это просто маскирует истинное положение дел. Теорема об общем виде первообразной верна только для связной части числовой прямой, например, для интервала или отрезка.

Руст писал(а):

однако здесь надо иметь в виду, что при переходе к определённым интегралам оба конца должны быть с одной стороны разрыва (иначе отсутствует даже сходимость).

То, что мы в определённых интегралах не можем пересечь разрывы и объясняет, что можем (и обязаны) обойтись одной.

[bot]

Someone писал(а):

В какой-то теме приводилась куча софизмов ...
Формулу $\int udv=uv-\int vdu$, конечно, все знают. Применим её к очень простому интегралу ... Сокращая в этом равенстве одинаковые выражения в левой и правой частях, получим впечатляющий результат: $0=1$.

А зачем вообще какие-то движения делать, если "противоречий" есть и в самой таблице интегралов?
Например:
$\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctg x + C = - \arcctg x + C$
Отсюда в частности, $\pi = 0$, а если воспользоваться логикой Максима Галкина, согласно которой у окружности нет площади, то $\pi$ нету.

[Посторонний]

Цитата:

Неопределённый интеграл определён с точностью до константы. Если бы были определённые интегралы то эта константа бы не играла никакой роли.

Здорово, только неопределенные интегралы равны с точностью до константы.

Неопределенный интеграл - это множество... множество
первообразных... И равенство двух интегралов - это
равенство множеств. Если вы ко всем первообразным какого
либо интеграла прибавите одну и ту же константу, то вы
получите то же самое множество... просто все
первообразные сдвинутся... А сокращать множества, чтобы
получить число, бесконечные множества(!)... сомнительная
какая-то операция... В огороде бузина, у Кыеви дядя...
Ну, народ...

Попробую по-вашему порассуждать:
Возьмем Z - множество целых чисел. Увеличим каждый его элемент на 1
(прибавим по единице к каждому элементу).
Обозначим то, что получилось через Z+1.
Очевидно, что Z=Z+1. Сокращая на Z получаем 0=1.

ЗЫ. Константу, +С которая, правильнее считать не числом, а функцией;
к первообразной (т.е. к функции) прибавляем другую функцию, тождественно
равную С. Эту константу, которая на всех x принимает одно и
тоже значение и поэтому называется константой, для того и пишут, чтобы
показать, что мы имеем дело со множеством. (На самом деле, если
говорят "произвольная" константа, то значит мы имеем дело со множеством...
значит под C надо понимать множество констант. Но тут долго можно в словах
путаться. Хватит уже.)

[Someone]

Наконец-то кто-то вспомнил определение неопределённого интеграла.

[bot]

Someone писал(а):

Наконец-то кто-то вспомнил определение неопределённого интеграла.

Который так и остался неопределённым.

[Someone]

Руст писал(а):

То, что мы в определённых интегралах не можем пересечь разрывы и объясняет, что можем (и обязаны) обойтись одной.

1) Функция $F(x)=\begin{cases}\ln(-x)+C_1\text{ при }x<0\text{,}\\ \ln x+C_2\text{ при }x>0\end{cases}$ является первообразной функции $f(x)=\frac 1x$ при любых значениях постоянных $C_1$ и $C_2$. Если мы определяем неопределённый интеграл $\int f(x)dx$ как совокупность всех первообразных функции $f(x)$ (такое определение приведено в Математической энциклопедии), то не имеем никакого права заменять две произволных постоянных одной. Другое дело, что запись

$$\int\frac{dx}x=\begin{cases}\ln(-x)+C_1\text{ при }x<0\text{,}\\ \ln x+C_2\text{ при }x>0\end{cases}$$

неудобна по сравнению с традиционной записью $\int\frac{dx}x=\ln|x|+C$, но я и не призываю от неё отказываться. Просто нужно иметь в виду, что в записи $\int f(x)dx=F(x)+C$ "постоянная" $C$ на самом деле является не постоянной, а функцией, постоянной на каждом промежутке непрерывности $F(x)$.

Кстати, Г.М.Фихтенгольц определяет неопределённый интеграл не как совокупность первообразных, а как выражение $F(x)+C$, что, на мой взгляд, не способствует ясности в ситуациях, аналогичных описанному софизму.

2) Использование различных констант на разных промежутках непрерывности первообразной как раз необходимо для корректного "пересечения" разрывов первообразной. Их нужно подбирать так, чтобы получалась непрерывная функция. Примеры:

$$\int\frac{dx}{x^2+1}=\begin{cases}-\arctg\frac 1x+\left(C-\frac{\pi}2\right)\text{ при }x<0\text{,}\\C\text{ при }x=0\text{,}\\-\arctg\frac 1x+\left(C+\frac{\pi}2\right)\text{ при }x>0\text{;}\end{cases}$$

$$\int\sqrt{|x^2-1|}dx=\begin{cases}\frac x2\sqrt{x^2-1}+\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+\left(C-\frac{\pi}4\right)\text{ при }x<-1\text{,}\\ \frac x2\sqrt{1-x^2}+\frac 12\arcsin x+C\text{ при }-1\leqslant x\leqslant 1\text{,}\\ \frac x2\sqrt{x^2-1}+\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+\left(C+\frac{\pi}4\right)\text{ при }x>1\text{.}\end{cases}$$

В обоих случаях будут проблемы, если написать, как обычно пишут, просто

$$\int\frac{dx}{x^2+1}=-\arctg\frac 1x+C$$

или

$$\int\sqrt{|x^2-1|}dx=\begin{cases}\frac x2\sqrt{x^2-1}+\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C\text{ при }|x|>1\text{,}\\ \frac x2\sqrt{1-x^2}+\frac 12\arcsin x+C\text{ при }|x|\leqslant 1\text{.}\end{cases}$$

[Руст]

Думаю здесь проблемы из-за выбора неудобной формы первообразной
$arctg(x)+C=-arctg{\frac 1x }+C_1,C_2,C_3$.

[Someone]

Руст писал(а):

Думаю здесь проблемы из-за выбора неудобной формы первообразной
$arctg(x)+C=-arctg{\frac 1x }+C_1,C_2,C_3$.

Безусловно, в данном случае я специально выбрал такую неудобную форму. Однако при вычислении интегралов с помощью различных подстановок такие (и ещё более) "неудобные" формы первообразной встречаются довольно часто.

Можно ещё аналогичный пример с разрывной подынтегральной функцией (несобственный интеграл):

$$\int\frac{dx}{\sqrt{|x^2-1|}}=\begin{cases}\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C_1\text{ при }x<-1\text{,}\\ \arcsin x+C_2\text{ при }-1\leqslant x\leqslant 1\text{,}\\ \ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C_3\text{ при }x>1\text{.}\end{cases}$$

В отличие от двух предыдущих примеров, где подынтегральная функция была непрерывна, а первообразная существовала на всей числовой оси (и потому произвольная постоянная должна быть одна), здесь первообразная существует на объединении трёх интервалов $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$, поэтому от трёх произвольных постоянных не избавиться. Однако, их можно подобрать так, чтобы получить непрерывную первообразную. Запись в традиционной форме

$$\int\frac{dx}{\sqrt{|x^2-1|}}=\begin{cases}\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C\text{ при }|x|>1\text{,}\\ \arcsin x+C\text{ при }|x|\leqslant 1\end{cases}$$

и здесь может создавать проблемы.

[strrrts]

$$\int(a+x)^n dx=\frac{(a+x)^{n+1}}{n+1}+C$$

Если использовать его для случая n=1, C=0, то получается

$$\int(a+x)dx=\frac{(a+x)^2}{2}$$

А если применить формулу интегрирования по частям, то получается

$$\int(a+x)dx=(a+x)x - \int xd(a+x)$$

$$\int(a+x)dx=ax+x^2 - \frac{x^2}{2}$$

$$\int(a+x)dx=ax - \frac{x^2}{2}=\frac{(a+x)^2}{2} - \frac{a^2}{2}$$

Но ведь

$$\frac{(a+x)^2}{2} \not=\frac{(a+x)^2}{2} - \frac{a^2}{2}$$

[RIP]

Было уже подобное.

// темы объединены. maxal

[strrrts]

А как быть с тем, что

$$\int_{-e}^{e} \frac{dx}{x}=2$$

хотя в точке $x=0$ разрыв и никакой интегральной площади быть не может.

[ewert]

А кто Вам сказал, что он равен двум?... Он если чему и равен, то нулю.

-- Пт дек 18, 2009 13:49:02 --

strrrts в сообщении #271675 писал(а):

Но ведь

$$\frac{(a+x)^2}{2} \not=\frac{(a+x)^2}{2} - \frac{a^2}{2}$$

Очень даже равно. Надо лишь не забывать приписывать по правую часть от каждого крючка приличествующую ему произвольную постоянную (каждому -- свою).

[age]

strrrts
По-вашему $ln(-e)=-ln(e)$?