выпуклость функции f^2

[TLG]

Собственно сабж..есть выпуклая неотрицательная функция $ f(x) $. Требуется доказать,что функция $ (f(x))^2 $ тоже будет выпуклой. Задача вроде как очевидная и доказывается просто использованием теоремы из учебника Васильева (страницу,к сожалению не помню),однако преподаватель требует показать выпуклость $ f^2 $используя только определение выпуклости и оперируя неравенствами. Тоесть требуется доказать,что $f^2(tx_1+(1-t)x_2)<=tf^2(x_1)+(1-t)f^2(x_2)$. Доказать в лоб никак не получается,необходимо придумать чтото хитрое... ну или простое,но мой мозг не в состоянии такое сделать(

[Хорхе]

Попробуйте доказать более общее утверждение: если $f$ выпукла, а $g$ выпукла и не убывает, то $g(f)$ выпукла.

(Оффтоп)

Звездочки писать необязательно, а вот знаки доллара таки да.

[TLG]

насчёт сообщения-извиняюсь,я тут новенький..
а насчёт этого более общего утверждения-в этом как раз и состоит суть этой теоремы у Васильева (сейчас как раз ищу её..).
в том то и дело,что мне научрук сказал : "нечего теоремами пользоваться,есть определение и твоя задача. решай."

[Maslov]

Хорхе в сообщении #272496 писал(а):

Попробуйте доказать более общее утверждение: если $f$ выпукла, а $g$ выпукла и не убывает, то $g(f)$ выпукла.

Хорхе, стесняюсь спросить: а выпуклая и неубывающая $g$ -- это в данном случае что за функция?

[RIP]

Maslov в сообщении #272515 писал(а):

Хорхе, стесняюсь спросить: а выпуклая и неубывающая $g$ -- это в данном случае что за функция?

Можно я? Ну, например, $g(x)=x|x|$ (см. ниже). А если серьёзно, то понятно, что неубывание нужно только на множестве значений $f$.

[Maslov]

RIP в сообщении #272518 писал(а):

Можно я? Ну, например, $g(x)=x|x|$.

Можно Спасибо большое.

[RIP]

А ведь я неправильно написал (захотел упростить первоначальный пример и забыл про выпуклость). Надо $g(x)=\max\{x|x|,0\}$.

[Maslov]

В данном случае $f(x)$ неотрицательна по условию, поэтому вроде всё правильно написали. Я же только про данный случай спрашивал. Но Вы, конечно, правы насчёт множества значений, так что и просто $g(x) = x^2$ годится.

[TLG]

Товарищи,вы отклоняетесь от темы...можете посоветовать хотя бы как начать оперировать с неравенствами? Ещё раз повторюсь,решение в лоб результата не приносит.

[RIP]

(Оффтоп)

Ну, я хотел привести пример и выпуклой на всей прямой, и неубывающей на всей прямой (я подумал, что вопрос был в этом). Не придумал, как попроще записать $x^2\chi_{[0;+\infty)}(x)$, и стал упрощать пример, забыв про выпуклость.

[TLG]

RIP в сообщении #272551 писал(а):

(Оффтоп)

Ну, я хотел привести пример и выпуклой на всей прямой, и неубывающей на всей прямой (я подумал, что вопрос был в этом). Не придумал, как попроще записать $x^2\chi_{[0;+\infty)}(x)$, и стал упрощать пример, забыв про выпуклость.

ну это,конечно же,прекрасно...и всё-таки обобщённую задачу мне просто запретили решать.. а с этими неравенствами я просто потонул...не пойму,с чего начать надо,если раскрыв скобки в лоб ничего не получилось(

[RIP]

Для начала докажите выпуклость функции $x^2$ по определению.

[TLG]

RIP
Либо Вы меня не поняли,либо я вас... Даже если я докажу вот это:

Хорхе в сообщении #272496 писал(а):

Попробуйте доказать более общее утверждение: если $f$ выпукла, а $g$ выпукла и не убывает, то $g(f)$ выпукла.

я не имею право этим пользоваться... тоесть я должен манипулировать просто определением выпуклости и сразу играться с функцией $f^2(x)$

[Maslov]

Можно и сразу доказывать, что $(\lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2))^2 \leq \lambda f^2(x_1) + (1-\lambda)f^2(x_2)$

[TLG]

вот именно об этом я и прошу Вас...скажите хотя бы последовательность действий,ибо у меня самого не получилось ни че го. =(