2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нетривиальная задача на ряды
Сообщение16.12.2009, 12:03 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Пусть $r_n,~n \in \mathbb{N}$, - рациональные числа отрезка $[0,1]$. Показать, что функция
$$f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|x-r_n|}{3^n}, ~~ x \in [0,1]$$
непрерывна на отрезке $[0,1]$, дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных точках этого отрезка.

Непрерывность доказывается тривиально - ряд сходится равномерно, из чего непосредственно следует непрерывность суммы.
Подскажите, с чего начать доказательство дифференцируемости?
(сразу вспоминается функция Римана, непрерывная в иррациональных и разрывная в рациональных, может быть к ней можно это хозяйство спихнуть?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение16.12.2009, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Просто посчитайте односторонние производные (они существуют всюду) по определению (предел отношения приращения функции к приращению аргумента).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение16.12.2009, 22:56 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Я наверно что то не догоняю...
Ищем одностороннюю производную в лоб:
$f'_+(x) = \lim\limits_{\Delta x \to +0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \dfrac{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \left( |x+\Delta x - r_n| - |x-r_n|\right)}{\Delta x} = ...$
Если $r_n$ находится справа от точек $x$ и $x+\Delta x$, модули раскрываются с плюсом, а если слева - то с минусом. В обоих случаях $r_n$ и $x$ уничтожается. Сумма слагаемых, где $r_n$ находится между $x$ и $x+\Delta x$ стремится к нулю.
Отсюда получаем некий знакопеременный ряд, где знак $n$-го члена зависит от того, с какой стороны от точек $x$ и $x+\Delta x$ находится $r_n$.
Ну, т.е.
$f'_+(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\mu}}{3^n}$, где $\mu$ равняется 0 или 1 в зависимости от расположения $r_n$.
Можно, конечно, $r_n$ упорядочить по возрастанию, тогда хоть знак в ряде сменится один лишь раз. Хотя это, по сути дела, не меняет картины.
(что-то мне кажется, я непонятно объяснил)

Непонятно, откуда берется принципиальное различие в дифференцировании в зависимости от рациональности $x$.
По рассуждениям предыдущего оратора следует полагать, что в рациональных точках левая производная не равна правой, но я и этого никак не могу увидеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение16.12.2009, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Дак это, в том слагаемом, которое сломано как раз на этом числе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение16.12.2009, 23:57 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Хорошо, значит имеет смысл рассмотреть разность левых и правых производных (ну чтобы там как раз вылезло то убитое слагаемое).
Пусть, начиная с номера $p+1$, $q$ рациональных чисел попало в промежуток между точками $x$ и $x+\Delta x$.
Кроме того, пусть у левой и у правой производной мы возьмем одинаковое приращение $\Delta x$.

Пишем:
$f'_+(x) = \sum\limits_{n=1}^{p} \frac{1}{3^n} + \sum\limits_{n=p+1}^{p+q} \frac{1}{3^n} \frac{2x-2r_n+\Delta x}{\Delta x} - \sum\limits_{n=p+q+1}^{\infty} \frac{1}{3^n}$
$f'_-(x) = \sum\limits_{n=1}^{p-q} \frac{1}{3^n} - \sum\limits_{n=p-q+1}^{p} \frac{1}{3^n} \frac{2x-2r_n+\Delta x}{\Delta x} - \sum\limits_{n=p+1}^{\infty} \frac{1}{3^n}$

Тогда:
$f'_+(x) - f'_-(x) = \sum\limits_{n=p-q+1}^{p+q} \frac{1}{3^n} \frac{2x-2r_n+2\Delta x}{\Delta x}$

Быть может, я не знаком со свойствами чисел, но ведь количество рациональных чисел на любом ненулевом отрезке бесконечно (счетно). Так вот, $p$ стремится к бесконечности, исходя из этого рассуждения. А значит и $n$ тоже стремится к бесконечности. Тогда получается, что в выражениях у левой и правой производной 2-я и 3-я суммы стремятся к нулю.
Кстати говоря, так как $p$ стремится к бесконечности, разность производных также стремится к нулю.

Я догадываюсь, что глубоко заблуждаюсь, но не могу понять, в чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение17.12.2009, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Бог с ними, с рядами. Возьмём одно слагаемое $|x-r_n|/3^n$ (считаем, что для всех остальных слагаемых веса $3^{-n}$ заменили на нули). Проведите для него все Ваши рассуждения и посмотрите, что в этой ситуации не так.

P.S. Кстати, в точках $0$ и $1$ функция таки дифференцируема (поскольку в концах отрезка дифференцируемость определяется в терминах односторонних производных), поэтому утверждение задачи не совсем правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение17.12.2009, 21:26 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Кажется, я начинаю прозревать... Если не трудно, проверьте строгость моих рассуждений? А то ведь опять могу заблуждаться...

Итак, смотрим, что будет происходить в иррациональных точках (будем по предложению RIP рассматривать лишь один член ряда):

Если $r_n>x$, то:
$a'_{n_+}(x) = \frac{|x+\Delta x-r_n| - |x-r_n|}{3^n \cdot \Delta x} = \frac{1}{3^n}  $
$a'_{n_-}(x) = \frac{|x-\Delta x-r_n| - |x-r_n|}{3^n \cdot (-\Delta x)} = \frac{1}{3^n}  $
$a'_{n_+}(x) = a'_{n_-}(x)$

Если $r_n<x$, то:
$a'_{n_+}(x) = a'_{n_-}(x) = -\frac{1}{3^n}$

Далее, как я обнаружил, можно сыграть на $\Delta x$ неким образом:
$\Delta x$ будем выбирать таким, что всегда $\Delta x < |x-r_n|$, чтобы исключить попадание рационального числа между $x$ и $x+\Delta x$
Однако, следует заметить, что приращение выбираем в зависимости от члена ряда (для любого приращения найдется такое рациональное число, которое окажется между $x$ и $x+\Delta x$, следовательно приращение нужно уменьшать), а когда берем производную от самой суммы, то приращение должно браться единым для всех членов ряда. Хотя, опять же, я могу заблуждаться....

Короче, если не считать это замечание, то левая и правая производная равны, функция дифференцируема в иррациональных точках.

Хорошо, теперь в рациональных:

Если $r_n>x$, то:
$a'_{n_+}(x) = a'_{n_-}(x) = \frac{1}{3^n}$

Если $r_n<x$, то:
$a'_{n_+}(x) = a'_{n_-}(x) = -\frac{1}{3^n}$

Если $r_n=x$, то:
$a'_{n_+}(x) = - a'_{n_-}(x) = \frac{1}{3^n}$
т.е. $a'_{n_+}(x) \neq a'_{n_-}(x)$

Снова не учитывая то замечание, видим, что левая и правая производная не равны (именнно из-за точки $x=r_n$), значит в рациональных точках функция недифференцируема.

Вопрос: как мне рассуждать, чтобы то замечание исчезло? (наперед знаю, что препод прицепится к этому тонкому моменту)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение17.12.2009, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для начала пара замечаний. Во-первых, Вы забываете писать $\lim_{\Delta x\to+0}$, ну да Бог с ними. Во-вторых, формулы для производных при $r_n\ne x$ надо все умножить на -1.
Теперь по существу вопроса. Воспользуйтесь тем, что если $r_n$ находится между $x$ и $x\pm\Delta x$, то $\frac{a_n(x\pm\Delta x)-a_n(x)}{\pm\Delta x}=O(3^{-n})$. Если $\Delta x$ достаточно мало, то $n$ при этом должно быть велико за возможным исключением $r_n=x$ (с которым надо разбираться отдельно). Поэтому сумма по таким $n$ мажорируется хвостом сходящегося ряда и в пределе при $\Delta x\to+0$ на неё можно забить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальная задача на ряды
Сообщение17.12.2009, 23:23 


12/05/09
68
Нижний Новгород
RIP в сообщении #272514 писал(а):
Для начала пара замечаний. Во-первых, Вы забываете писать $\lim_{\Delta x\to+0}$, ну да Бог с ними. Во-вторых, формулы для производных при $r_n\ne x$ надо все умножить на -1.

Согласен. Признаю свою небрежность. :roll:

Так, кажется я во всем теперь разобрался. Посмотрим, возникнут ли у меня завтра вопросы...))
RIP - огромное спасибо за терпение! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group