[draft] Справочник. Интегралы

[cepesh]

3. Первообразная и неопределенный интеграл

3.1. Основные определения. Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке $X$ (конечном или бесконечном), если функция $F(x)$ непрерывна на $X$ и $F'(x)=f(x)$ во всех внутренних точках.
Неопределенным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $X$ называют, и обозначают $\int f(x) dx$, множество всех первообразных:

$$\int f(x) dx = F(x) + C\qquad(C = const).$$

3.2. Свойства неопределенного интеграла. Если функция $f(x)$ имеет первообразную на промежутке $X$, то для внутренних точек промежутка

$$\frac{d}{dx}\int f(x) dx = f(x).$$

Если функция $f(x)$ непрерывна па промежутке $X$ и дифференцируема в его внутренних точках, то

$$\int df(x)=f(x)+C.$$

Если функция $f(x)$ имеет первообразную на промежутке $X$, а $k$ — число, то для функции $kf(x)$ существует первообразная и

$$\int kf(x)dx=k\int f(x) dx.$$

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют первообразные на промежутке $X$, то функция $f(x)+g(x)$ также имеет первообразную и

$$\int[f(x)+g(x)] dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx.$$

Интегрирование по частям. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на промежутке $X$, дифференцируемы в его внутренних точках и существует интеграл $\int g(x)d f(x)$, то на $X$ существует и интеграл $\int f(x)d g(x)$ и

$$\int f(x)d g(x)=f(x)g(x)-\int g(x)d f(x).$$

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция $f(z)$ определена и имеет
первообразную на промежутке $Z$, а функция $z = g(x)$ непрерывна на промежутке $X$, дифференцируема в его внутренних точках и $g(X)\subset Z$, то функция $f(g(x))g'(x)$ имеет первообразную на $X$ и

$$\int f(g(x))g'(x) = \int f(z) dz.$$

3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.

$$\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\neq-1);\qquad\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$

(в последнем интеграле промежуток интегрирования не содержит $x = 0$); постоянную $C$ всюду опускаем;
\begin{eqnarray*} \int a^x dx&=&\frac{a^x}{\ln a};\\ \int \sin x dx&=&-\cos x;\\ \int \cos x dx&=&\sin x;\\ \int \tg x dx&=&-\ln|\cos x|;\\ \int \ctg x dx&=&\ln|\sin x|;\\ \int \sh x dx&=&\ch x;\\ \int \ch x dx&=&\sh x;\\ \int \frac{dx}{\sin^2 x}&=&-\ctg x;\\ \int \frac{dx}{\cos^2 x}&=&\tg x;\\ \int \frac{dx}{\sh^2 x}&=&-\cth x;\\ \int \frac{dx}{\ch^2 x}&=&\mathop{\rm th} x;\\ \int \frac{dx}{x^2+a^2}&=&\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}\qquad(a\neq 0);\\ \int \frac{dx}{x^2-a^2}&=&\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\qquad(a\neq 0);\\ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=&\arcsin\frac{x}{a}\qquad (|x|<a);\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}&=&\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\quad (a\neq 0);\\ \int \frac{dx}{\sin x}&=&\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|;\\ \int \frac{dx}{\cos x}&=&\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|;\\ \int \th x dx&=&\ln\ch x;\\ \int \cth x dx&=&\ln|\sh x|;\\ \int \frac{dx}{\sh x}&=&\ln|\mathop{\rm th}\frac{x}{2}|;\\ \int \frac{dx}{\ch x}&=&2\arctg e^x;\\ \end{eqnarray*}

4. Некоторые неопределенные интегралы

4.1. Интегралы от рациональных функций. Интегралы, содержащие $X=ax+b$.
\begin{eqnarray*} \int X^n dx&=&\frac{1}{a(n+1)}X^{n+1}\qquad(n\neq -1);\\ \int \frac{dx}{X}dx&=&\frac{1}{a}\ln|X|;\\ \int \frac{x dx}{X}&=&\frac{x}{a}-\frac{b}{a^2}\ln|X|;\\ \int \frac{x dx}{X^2}&=&\frac{b}{a^2 X}+\frac{1}{a^2}\ln|X|;\\ \int \frac{x dx}{X^n}&=&\frac{1}{a^2}\left(\frac{-1}{(n-2)X^{n-2}}+\frac{b}{(n-1)X^{n-1}}\right)\quad (n\neq 1,2);\\ \int \frac{x^2 dx}{X}&=&\frac{1}{a^3}\left(\frac{1}{2}X^2-2bX+b^2\ln|X|\right);\\ \int \frac{x^2 dx}{X}&=&\frac{1}{a^3}\left(\frac{1}{2}X^2-2bX+b^2\ln|X|\right);\\ \int \frac{x^2 dx}{X^2}&=&\frac{1}{a^3}\left(X-2b\ln|X|-\frac{b^2}{X}\right);\\ \int \frac{x^2 dx}{X^3}&=&\frac{1}{a^3}\left(\ln|X|+\frac{2b}{X}-\frac{b^2}{2X^2}\right);\\ \int \frac{x^2 dx}{X^n}dx&=&\frac{1}{a^3}\left[\frac{-1}{(n-3)X^{n-3}}+\frac{2b}{(n-2)X^{n-2}}-\frac{b^2}{(n-1)X^{n-1}}\right]\qquad (n\neq 1,2,3);\\ \int \frac{dx}{xX}&=&-\frac{1}{b}\ln\left|\frac{X}{x}\right|;\\ \int \frac{dx}{xX^2}&=&-\frac{1}{b^2}\left(\ln\left|\frac{X}{x}\right|+\frac{ax} {X}\right);\\ \int \frac{dx}{xX^n}&=&-\frac{1}{b^n}\left[\ln\left|\frac{X}{x}\right|-\sum\limits_{i=1}^{n-1}C^i_{n-1}\frac{(-a)^i x^i}{iX^i}\right]\qquad (n\geq 1);\\ \int \frac{dx}{x^2X}&=&-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{X}{x}\right|;\\ \int \frac{dx}{x^2X^2}&=&-a\left[\frac{1}{b^2X}+\frac{1}{ab^2x}-\frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{X}{x}\right|\right];\\ \int \frac{dx}{x^2X^n}&=&-\frac{1}{b^{n+1}}\left[\sum\limits_{i=2}^n C^i_n \frac{(-a)^{i-1}x^{i-1}}{(i-1)X^{i-1}}+\frac{X}{x}-na\ln\left|\frac{X}{x}\right|\right]\qquad(n\geq 2);\\ \int \frac{dx}{x^mX^n}&=&-\frac{1}{b^{m+n-1}}\sum\limits_{i=0}^{m+n-2} C^i_{m+n-2} \frac{X^{m-i-1}(-a)^i}{(m-i-1)x^{m-i-1}};\\ \end{eqnarray*}
если $m-i-1=0$, то соответствующий член под знаком суммы заменяется членом $C^{m-1}_{m+n-2}(-a)^{m-1}\ln\left|\frac{X}{x}\right|$.