2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача не из простых
Сообщение10.07.2006, 17:53 


03/04/06
40
Иркутск
Доказать, что существует такая константа c, что для любой непрерывно дифференцирцемой в n-мерном пространстве $ R^n $, абсолютно интегрируемой по $ R^n $ функции $ f(x), x=( x_1 , ... , x_n ) $все частные производные первого порядка которой ограничены, имеет место неравенство $$ sup_{x \in R^n}  \left| f(x) \right| \leqslant c( sup_{x \in R^n}  \left| \triangle f(x) \right|)^\frac{n}{(n+1)} (\int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx)^\frac{1}{(n+1)}  $$ Найти наименьшую такую константу с :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2006, 07:50 


03/04/06
40
Иркутск
Вот решение:
$ Пусть   sup_{x \in R^n}  \left| \triangle f(x) \right| = k $и возьмем произвольное x_0 \in R^n, тогда для любого x_0 \in R^n :
$ f(x)=f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} \frac{d}{dt} f(x_0 + t(x-x_0 )) dt = f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} (\triangle f(x_0 + t(x-x_0 )), x - x_0 ) dt $
откуда \left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| Интегрируя последнее неравенство по шару \left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k получим $ \int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant  \int\limits_{\left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant  \left| f(x) \right|\frac{\omega_n}{n+1} (\frac{\left| f(x_0 ) \right|}{k})^n $ Где \omega_n - обьем n-мерного единичного шара, откуда и вытекает требуемое неравенство при c = ((n+1)/\omega_n)^\frac{1}{(n+1)} .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
VSSISTU писал(а):
Вот решение:
$ Пусть   sup_{x \in R^n}  \left| \triangle f(x) \right| = k $и возьмем произвольное x_0 \in R^n, тогда для любого x_0 \in R^n :
$ f(x)=f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} \frac{d}{dt} f(x_0 + t(x-x_0 )) dt = f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} (\triangle f(x_0 + t(x-x_0 )), x - x_0 ) dt $
откуда \left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| Интегрируя последнее неравенство по шару \left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k получим $ \int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant  \int\limits_{\left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant  \left| f(x) \right|\frac{\omega_n}{n+1} (\frac{\left| f(x_0 ) \right|}{k})^n $ Где \omega_n - обьем n-мерного единичного шара, откуда и вытекает требуемое неравенство при c = ((n+1)/\omega_n)^\frac{1}{(n+1)} .

Не могли бы Вы пояснить справедливость самого последнего неравенства в Ваших выкладках, поскольку мне непонятно оно само по себе, а также его связь с предыдущей оценкой:\left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| . Кроме того, для меня осталось непонятным, почему найденная Вами константа - наилучшая?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group