2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограниченность функции h(f(x),g(x))
Сообщение19.11.2009, 12:40 


11/11/07
80
Доброго времени суток всем!

Тако вопрос ... всегда ли верно утверждение, что если $f(x)$ и $g(x)$ ограниченные непрерывные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то и $h(f(x),g(x))$ тоже будет ограниченной функцией?
Если ответ утвердительный, то можно подсказку где про это почитать.

Заранее багодарен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
$h$, надо полагать, непрерывна?

Если да, то да, теорема Вейерштрасса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 13:25 


11/11/07
80
Хорхе в сообщении #263449 писал(а):
$h$, надо полагать, непрерывна?


Да $h$ должна быть непрерывной функцией.
Спасибо, надо будет освежить в памяти эту теорему ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 14:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
, причём непрерывность $f$ и $g$ для ограниченности $h$ не нужна

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 14:30 


11/11/07
80
Если подразумевалась следующая теорема Вейерштрасса

Цитата:
In calculus, the extreme value theorem states that if a real-valued function $f$ is continuous in the closed and bounded interval $[a,b]$, then $f$ must attain its maximum and minimum value, each at least once. That is, there exist numbers $c$ and $d$ in $[a,b]$ such that:

$f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad\text{for all }x\in [a,b].$

A related theorem is the boundedness theorem which states that a continuous function $f$ in the closed interval $[a,b]$ is bounded on that interval. That is, there exist real numbers $m$ and $M$ such that:

$m \le f(x) \le M\quad\text{for all }x \in [a,b].$

The extreme value theorem enriches the boundedness theorem by saying that not only is the function bounded, but it also attains its least upper bound as its maximum and its greatest lower bound as its minimum.

то у меня немного другой вопрос. В моем случае $x\in(-\infty,\infty)$.

Но тут как мне кажется ничего нельзя утверждать наверняка. Что-то стал склоняться в сторону отрицательного ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 14:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ваш вопрос в одну сторону другой, а в другую -- ровно тот самый.

В наиболее общем варианте теорема Вейерштрасса выглядит так: если функция задана на компакте и непрерывна, то она там ограничена, причём её минимум и максимум достигаются.

Если количество аргументов конечно, то "компакт" -- это ограниченное замкнутое множество (в $\mathbb R$ или $\mathbb R^n$); например, отрезок на оси или квадрат на плоскости.

Если Ваши функции $f$ и $g$ ограничены, то после навешивания на них функции $h$ интересуют, собственно, лишь значения последней на некотором ограниченном множестве, образованном множествами значений двух первых функций. Это множество уж всяко погружено в некоторый замкнутый квадрат, на котором $h$ ограничена -- по теореме Вейерштрасса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение19.11.2009, 17:07 


11/11/07
80
Ух ты!

Прямо разжевали и в рот положили :oops:

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение20.11.2009, 11:07 


11/11/07
80
Как говорится чтобы закрепить пройденный материал. Рассмотрим следующий пример.

Пусть $f(x)\equiv const$ для простоты положим $f(x)=1$ и $g(x)=\exp^{-x^2}$. Обе функции являются ограниченными при $x\in(-\infty,\infty)$.
Теперь определим функцию $h(f(x),g(x))=\frac{f(x)}{g(x)}=1/\exp^{-x^2}=\exp^{x^2}$, которая хоть и является непрерывной, но уже не будет ограниченной на интервале $(-\infty,\infty)$.

Ткните пожалуйста пальцем в какой момент кривая рассуждений завела меня не туда. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность
Сообщение20.11.2009, 11:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Функция $h(u,v)$ не является непрерывной -- у неё разрывы при $v=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group