Условие Липшица

[maxmatem]

надо доказать что если $ |$$\frac{\partial f}{dx}$|$\leqslant L$ тогда функция $f$ удолитворяет условию Липшица.
само условие вроде понятно, но как до-ть начать пока не знаю....

[ewert]

Одна из самых ранних теорем в дифференциальном исчислении -- теорема Лагранжа: приращение функции равно приращению аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.

[maxmatem]

$\frac{\partial f(с)}{dx}$=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ чем она поможет?

[AD]

maxmatem в сообщении #263302 писал(а):

чем она поможет?

Процитируйте здесь условие Липшица, и подчеркните карандашиком в нём

ewert в сообщении #263300 писал(а):

приращение функции

[maxmatem]

$|$f(x,y_{1})$$-$$f(x,y_{2})$$|$$\leqslant L|y_{1}-y_{2}|$

[AD]

Так, ну с такой формулировкой мы далеко не уедем. Это Вы какие-то дифуры пытаетесь изучать, теорему единственности, да?

Условие Липшица - это вообще для функций одной переменной. Оно звучит так: $\exists C:\ \forall x_1,x_2\ |f(x_1)-f(x_2)|\le C|x_1-x_2|$ (то есть первое - Вы константу $C$ забыли). У Вас же, видимо, предлагается доказать липшицевость по букве $y$, при фиксированном $x$ (может быть, равномерно по $x$) и, соответственно, речь идет о производной $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ (а не по $x$, как Вы написали первом сообщении).

Ну а дальше еще раз перечитайте советы.

[maxmatem]

да вы совершенно правы! я разбираю док-во теоремы о единственности и существовании решения обыкновенного диф.уравнения. да я опечатолся в первом сообщении

[AD]

Ну так что, непонятно что-то по-прежнему? $f(b)-f(a)$ разглядели? На $f'(c)(b-a)$ его заменили? Что известно про $f'(c)$ - вспомнили?

[ewert]

AD в сообщении #263317 писал(а):

Так, ну с такой формулировкой мы далеко не уедем. Это Вы какие-то дифуры пытаетесь изучать, теорему единственности, да?

maxmatem в сообщении #263321 писал(а):

я разбираю док-во теоремы о единственности и существовании решения обыкновенного диф.уравнения.

а вот и меня в первом сообщении тоже немножко удивил тот кентавр: производная наполовину частная, а наполовину полная.

К вариациям формулировок той теоремы надобно относиться спокойно. На практике, естественно, срабатывает именно ограниченность частных производных по игрекам. Липшицевость по игрекам -- это просто некоторое формальное ослабление требования ограниченности производных, но мне чего-то трудно представить себе случай, когда это (формально говоря, конечно, ослабление) приводило бы ну хоть к каким-то хоть мало-мальски практически значимым результатам.

[maxmatem]

ну у меня получилось так:
|$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$|$=$$|f(x;b)-f(x;a)| \le L|b-a|$

[ewert]

пока у Вас решительно ничего не получилось. Кроме того, Вы явно перепутали иксы с игреками.

[maxmatem]

а теперь?

[ewert]

maxmatem в сообщении #263363 писал(а):

ну у меня получилось так:
|$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$|$=$$|f(x;b)-f(x;a)| \le L|b-a|$

А теперь -- странно. Как это производная -- может не превосходить приращения?...

[Skrejet]

ewert в сообщении #263359 писал(а):

Липшицевость по игрекам -- это просто некоторое формальное ослабление требования ограниченности производных

Условия Липшеца вроде бы является более сильным, чем условие непрерывности и более слабым, чем условие дифференцируемости. Т. е. функция удовлетворяющая условию Липшеца обязательно непрерывно, но не факт что дифферинцируема.

[ewert]

Из липшицевости более-менее следует ограниченность производной там, где она существует, а существует она почти всюду (более-менее -- с учётом заклинаний насчёт двумерности). Но в любом случае -- это некоторая ловля блох.