Задачка по Гидродинамике. Помогите разобраться!!!

[integral2009]

Какова должна быть разность давлений на концах горизонтально расположенной цилиндрической трубки, длина которой равна $l=50$см и радиус просвета $R=2$мм, чтобы по ней ламинарно протекала ньютоновская жидкость со скоростью на оси трубки $u=500$мм/с? Коэффициент динамической вязкости равен $\mu$=1,2мПа*с, плотность $\rho=1200$$kg/m^3$

Уравнение, описывающее поведение Ньютоновской жидкости
$\tau=\mu\dfrac{du}{dy}$
$\tau$— касательное напряжение, вызываемое жидкостью
$\mu$ — динамический коэффициент вязкости
$\dfrac{du}{dy}$ — градиент скорости перпендикулярно направлению сдвига
Можно ли считать
$\dfrac{du}{dy}=\dfrac{u}{l}$?!
Если так, то осталось касательное напряжение связать с плотностью и радиусом просвета, разностью давлений.
Размерность касательного напряжения совпадает с размерностью давления (может они пропорциональны друг другу)...Так и хочется приравнять...какое-то у меня "не физическое мышление"
В википедии написано, что Механическое напряжение в точке тела измеряется отношением упругой силы, возникающей в теле при деформации, к площади малого элемента сечения, перпендикулярного к этой силе, Касательное механическое напряжение — приложено на единичную площадку сечения образца, в плоскости сечения.
По моему идет речь о боковой поверхности цилиндра, площадь которой $S=2{\pi}lR$ Фантазия на этом исчерпывается...
Такое чувство, что половина из того что я написал - ерунда...

[e7e5]

integral2009 в сообщении #262109 писал(а):

Какова должна быть разность давлений на концах горизонтально расположенной цилиндрической трубки, длина которой равна $l=50$см и радиус просвета $R=2$мм, чтобы по ней ламинарно протекала ньютоновская жидкость со скоростью на оси трубки $u=500$мм/с? ..

Напишите условие, когда будет турбулентное движение.

[ewert]

integral2009 в сообщении #262109 писал(а):

Можно ли считать
$\dfrac{du}{dy}=\dfrac{u}{l}$?!

Нельзя. Но можно (и нужно) считать, что

$$\mu{\partial u\over\partial y}=-{\Delta P\cdot s_{\text{осн}}(y)\over s_{\text{бок}}(y)},$$

где вверху и внизу стоят площади, соответственно, основания и боковой поверхности цилиндра радиуса $y\in(0;R)$. Выражаем эти площади через $y$ и $l$, интегрируем -- и получаем зависимость скорости от расстояния до оси.

Ну или можно поискать готовую формулу: профиль скоростей в трубе -- вещь известная.

[integral2009]

Спасибо, сейчас посчитаю!!! А откуда такая формула взялась?

-- Вс ноя 15, 2009 14:34:36 --

$$\mu{\partial u\over\partial y}=-{\Delta P\cdot s_{\text{осн}}(y)\over s_{\text{бок}}(y)},$$

$$\mu{\partial u = {-{\Delta P\cdot {\pi{y^2}\over 2{\pi}ly}\partial y$$

$$\mu{\partial u ={ -{\Delta P\cdot y\over 2l}\partial y$$

$$\mu{u}= -\dfrac{y^2\Delta P}{4l}$$

[ewert]

Касательное напряжение -- это сила, действующая вдоль боковой поверхности цилиндра, делённая на площадь этой поверхности. А сила, в свою очередь -- это сила давления, выталкивающего столбик жидкости, ограниченный тем цилиндром.

[integral2009]

e7e5, а зачем нужно писать условие для того, когда будет турбулентное движение, когда в условии сказано, что оно ламинарное!
Спасибо ewert, вы такой умный!

$\Delta P = -\dfrac{4l{\mu}u}{y^2}$
Теперь нам все известно, кроме $y$ его как-то с плотностью нужно связать?

[e7e5]

integral2009 в сообщении #262253 писал(а):

e7e5, а зачем нужно писать условие для того, когда будет турбулентное движение, когда в условии сказано, что оно ламинарное!

мне показалось, что в условии требуется найти разность давлений именно такую, чтобы жидкость ламинарно текала...


То, что течение ламинарное совсем неочевидно. Вернее, это надо доказать.
Наверняка найдутся такие значения разности давлений, когда жидкость вообще не будет течь ламинарно ( А может при каких-то значениях вообще не будет течь?). Совсем еще не факт, что найденное значение даст правильный ответ, имеющий физический смысл. Без анализа граничных значений, когда ответ верен, а когда нет, до конца решенной задачу нельзя считать.

[ewert]

integral2009 в сообщении #262243 писал(а):

$$\mu{u}= -\dfrac{y^2\Delta P}{4l}$$

Вы забыли произвольную постоянную интегрирования, которую потом надо будет подогнать под граничное условие (неподвижность на стенке трубы).

[integral2009]

e7e5, ок спсибо, сейчас посчитаю число Рейнольдса

$$Re=\frac{\rho{u}l}{\mu}=\frac{1200*0.5*0.5}{1.2*10^{-3}}=250000$$

как-то многовато...Получается, что это больше критического значения 2300 на 2 порядка...значит турбулентное движение или я обсчитался?
ewert

$$\mu{u}= -\dfrac{y^2\Delta P}{4l}+C$$

$$\Delta P = -\dfrac{4l({\mu}u-C)}{y^2}$$

[ewert]

Второе преобразование лишнее. И чему равна $C$?...

[integral2009]

На стенке трубы $u=0$ , $y=R$
Поэтому

$$0= -\dfrac{R^2\Delta P}{4l}+C$$

$$C=-\dfrac{R^2\Delta P}{4l}$$

$$\mu{u}= \dfrac{(R^2-y^2)\Delta P}{4l}$$

-- Вс ноя 15, 2009 15:43:48 --

Правильно ли рассуждаю? Тк дана скорость на оси трубки, то $y=0$, поэтому

$$\Delta P = \dfrac{4l{\mu}u}{R^2}$$

-- Вс ноя 15, 2009 15:46:31 --

А еще вопрос, а почему в формуле

$$\mu{\partial u\over\partial y}=-{\Delta P\cdot s_{\text{осн}}(y)\over s_{\text{бок}}(y)},$$

стоит минус сразу после знака равенства?
А как же число Рейнольдса?

[ewert]

Вроде правильно (если я тоже чего не зевнул, но Вы арифметических ошибок вроде допускать не склонны).

Минус -- просто потому, что градиент скоростей явно отрицателен (т.е. направлен к оси).

Бог с ним, с Рейдольдсом, составители задачи о нём скорее всего и не задумывались. А много получилось потому, что Вы зачем-то вместо радиуса засунули туда длину, вот в 250 раз больше и вышло.

[integral2009]

ewert, спасибо большое, все понял!

[e7e5]

integral2009 в сообщении #262272 писал(а):

сейчас посчитаю число Рейнольдса

$$Re=\frac{\rho{u}l}{\mu}=\frac{1200*0.5*0.5}{1.2*10^{-3}}=250000$$

как-то многовато...Получается, что это больше критического значения 2300 на 2 порядка...значит турбулентное движение или я обсчитался?

Да, неверно. Разные размерности..., отсюда неверный результат
И какая же у Вас разность давлений получилась, сколько Паскалей?

[ewert]

e7e5 в сообщении #262366 писал(а):

Разные размерности...,

размерности правильные, просто не тот размер был принят за характерный