# Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

 Тригонометрические константы12.11.2009, 18:43
 Заслуженный участник

09/02/09
1952
Минск, Беларусь
 $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \tg\alpha = \ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \\ \hline \frac{\pi}{60}=3^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{\pi}{30}=6^{\circ} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}} \\ \hline \frac{\pi}{20}=9^{\circ} & \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}-1}{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{15}=12^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \\ \hline \frac{\pi}{12}=15^{\circ} & \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} & 2-\sqrt{3} \\ \hline \frac{\pi}{10}=18^{\circ} & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{7\pi}{60}=21^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{2\pi}{15}=24^{\circ} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{3\pi}{20}=27^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}+1}{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{6}=30^{\circ} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \hline \frac{11\pi}{60}=33^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{5}=36^{\circ} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\ \hline \frac{13\pi}{60}=39^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{7\pi}{30}=42^{\circ} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}} \\ \hline \frac{\pi}{4}=45^{\circ} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \\ \hline \end{array}$

 Re: Тригонометрические константы12.11.2009, 18:55
 Заслуженный участник

13/08/08
12848
 Эту таблицу надо в справочник поместить.интересно, что 60 делится на 5, 3, 2 и под корнями стоят тоже 5, 3 и 2. А синусы остальных целых углов будут? Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?

 Re: Тригонометрические константы12.11.2009, 19:13
 Заслуженный участник

09/02/09
1952
Минск, Беларусь
 gris в сообщении #261333 писал(а):Эту таблицу надо в справочник поместить.Так я и хотел. Но там не дают постить. Поэтому написал тут и позвал модераторов.gris в сообщении #261333 писал(а):А синусы остальных целых углов будут?Если угол, тригонометрическая функция которого выражается через радикалы, равен целому числу градусов, то это целое число обязательно делится на три.gris в сообщении #261333 писал(а):Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?Конечно, есть. Например, $\sin\frac{\pi}{17}=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{15+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{128}}}$

 Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовок по возрастаниюпо убыванию
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

#### Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

 Вы не можете начинать темыВы не можете отвечать на сообщенияВы не можете редактировать свои сообщенияВы не можете удалять свои сообщенияВы не можете добавлять вложения

 Найти: