Математическая логика, теорема Дедукции

[nbyte]

Здравствуйте.
Я бы очень хотелбы иметь хоть один правильно решенный пример при помощи метода дедукции
Помогите пожалуйста с решением следующего примера
$\[\vdash (p\& q) \to (p \vee q)\]$
Нужно решить с использованием следующей таблицы

$$$$\[\begin{array}{l} 1.1\,A \to (B \to A) \\ 1.2\,(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C)) \\ \\ 2.1\,(A\& B) \to A \\ 2.2\,(A\& B) \to B \\ 2.3\,(A \to B) \to ((A \to C) \to (A \to (B\& C))) \\ \\ 3.1\,A \to (A \vee B) \\ 3.2\,B \to (A \vee B) \\ 3.3\,(A \to C) \to ((B \to C) \to ((A \vee B) \to C)) \\ \\ 4.1\,(A \to B) \to (\neg B \to \neg A) \\ 4.2\,A \to \neg \neg A \\ 4.3\,\neg \neg A \to A \\ \end{array}\] $$ $$

и правила Modus Ponens

[Xaositect]

По теореме о дедукции $\vdash (p\& q)\to (p\vee q) \Leftrightarrow p\& q\vdash p\vee q$
Из гипотезы $p\& q$ и аксиомы 2.1 можно вывести $p$, а из $p$ и аксиомы 3.1 можно вывести $p\vee q$.

[nbyte]

Цитата:

Из гипотезы $p\& q$ и аксиомы 2.1 можно вывести $p$, а из $p$ и аксиомы 3.1 можно вывести $p\vee q$.

А как это всё правильно оформить через Modus Ponens?
Мне с эти больше всего трудностей вызывает.

[Xaositect]

1. $p\&q$ (гипотеза)
2. $(p\&q)\to p$ (A2.1)
3. $p$ (из 1 и 2 по MP)
4. $p\to (p\vee q)$ (A3.1)
5. $p\vee q$ (из 3 и 4 по MP)

Таким образом, $p\& q\vdash p\vee q$

[nbyte]

Хмм так. Я не думал, что так можно. Спасибо вам Xaositect за помощь.

[Xaositect]

Ну в этом и суть теоремы о дедукции: вывод импликации "напрямую" обычно сложнее, чем вывод следствия из посылки.

[Чудо-в-перьях]

Конечно, сложнее)) попробуйте в этой аксиоматике закон Пирса $((p\to q)\to p)\to p$ напрямую вывести - с ума ведь сойти можно