2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение температуры.
Сообщение28.10.2009, 20:35 


17/09/09
224
Дано: Имеется плоскость, с вырезанной областью в виде диска радиуса $R$. Пусть на бесконечности ($r-> \inf$), где $r$ - радиус-вектор в полярной системе координат, задана постоянная
температура $T(r= \inf)=T_2$. На границе диска, т.е. $T(r=R)=T_1$. Пусть $T_1<T_2$. Найти стационарное распределение температуры $T(r)$.
Решение:
Уравнение $T''+ \frac{1}{r} T'=0$.
Решение его $T(r)=A  \ln (r)+B$. Из условия на бесконечности получаем $A=0, B=T_2$. Как удовлетворить второму условию?

Прошу прощения так и не смог найти как знак бесконечности пишется. :-(

-- Чт окт 29, 2009 02:07:47 --

Ну что-то только просмотры, ответов нет. Если решить эту задачу для кольца, с внутренним радиусом $R$ и внешним $R_1$, а потом устремить $R_1$ в бесконечность, получается ответ не зависящий от температуры при $r=R$, т.е. на внутреннем радиусе. Как-то все это странно. Видимо если плоскость бесконечная, то наличие ограниченной области на границе которой другая температура, не играет особой роли. Но все это как-то странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Бесконечность пишется \infty $\infty$
А Вы разве правильно составили дифференциальное уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 10:29 


17/09/09
224
Спасибо, буду знать. Насчет уравнения - вроде правильно, стационарное уравнение теплопроводности вроде выглядит так: $\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\right)T+\frac{1}{r^2}\frac{d^2}{d \phi^2}T=0$. Поскольку от угла ничего не зависит, получаем то уравнение, кторое написано у меня в предыдущем посте. Если я не прав, поправьте плиз.

-- Чт окт 29, 2009 14:31:12 --

Забыл $\frac{1}{r}$ множитель в левой части перед производными по радиус-вектору

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А как решается аналогичная задача для бесконечного стержня, у которого в начале поддерживается температура $T_1$, а на бесконечности - $T_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 10:48 


17/09/09
224
А я не знаю, подскажите, как? Ну или ссылку на конкретное решение дайте, буду признателен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 10:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kamaz в сообщении #256056 писал(а):
Как удовлетворить второму условию?

Никак. Симметричное решение уравнения Лапласа в двумерном случае -- это именно логарифм, хоть ты тресни. Поэтому задача разрешима (тривиально) только при $T_1=T_2$.

-- Чт окт 29, 2009 11:52:04 --

gris в сообщении #256173 писал(а):
А как решается аналогичная задача для бесконечного стержня,

Аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение температуры.
Сообщение29.10.2009, 11:16 


17/09/09
224
Что интересно, в трехмерном случае, задача решается нормально, посколько там не логарифм, а $\frac{1}{r}$ решение. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group