2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение26.10.2009, 12:54 
Заблокирован


09/11/08

155
г. Краматорск, Украина
Господа!
Имеет ли общее решение уравнение:
$X^2-nY^2=A^2$,
где: A-заданное целое число;
n-не является точным квадратом целого числа.
KORIOLA

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение26.10.2009, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
В зависимости от правой части (кстати квадрат там не обязателен) либо решений нет, либо их бесконечно много с простым описанием. Для ознакомления можно взять одну из популярных брошюрок для школьников - Гельфонда, если не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение26.10.2009, 13:50 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
bot в сообщении #255120 писал(а):
Для ознакомления можно взять одну из популярных брошюрок для школьников - Гельфонда, если не ошибаюсь.
И увидеть там такой текст:

Цитата:
Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на C и A, уравнение (73) будет иметь решение, - вопросе трудном и разрешимом с помощью теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел


Я как раз все выходные писал программу решения похожих уравнений, так что у трудностях знаю на собственном опыте. Получилось чуть больше 200 строк на Питоне, зато работает.

$9^2-2\cdot4^2=7^2$
$43^2-2\cdot30^2=7^2$
$249^2-2\cdot176^2=7^2$
$\ldots$
$11^2-2\cdot6^2=7^2$
$57^2-2\cdot40^2=7^2$
$331^2-2\cdot234^2=7^2$
$\ldots$

$19^2-13\cdot5^2=6^2$
$24031^2-13\cdot6665^2=6^2$
$31192219^2-13\cdot8651165^2=6^2$
$\ldots$
$7^2-13\cdot1^2=6^2$
$6883^2-13\cdot1909^2=6^2$
$8934127^2-13\cdot2477881^2=6^2$
$\ldots$
$7^2-13\cdot(-1)^2=6^2$
$2203^2-13\cdot611^2=6^2$
$2859487^2-13\cdot793079^2=6^2$
$\ldots$
$631^2-13\cdot175^2=6^2$
$819019^2-13\cdot227155^2=6^2$
$1063086031^2-13\cdot294847015^2=6^2$
$\ldots$

Кстати, Аллен Хатчер (автор "Algebraic Topology") сейчас ведет курс по теории чисел для младшекурсников и параллельно выкладывает по одной главе новую книгу "Topology of Numbers", где излагает эти вопросы в картинках.

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNpage.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение27.10.2009, 09:52 
Заблокирован


09/11/08

155
г. Краматорск, Украина
tolstopuzy
Ваши примеры доказывают, что приведенное мною уравнение
имеет числовое решение. Но имеет ли оно алгебраическое решение?
KORIOLA

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение27.10.2009, 10:00 
Экс-модератор


17/06/06
5004
KORIOLA, Вам уже дали ссылку. Это ОЧЕНЬ известное и изученное уравнение.

-- Вт окт 27, 2009 11:04:44 --

Ну вот еще немножко, если хотите.
http://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение X^2-nY^2=A^2
Сообщение27.10.2009, 10:36 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
AD в сообщении #255435 писал(а):
Вам уже дали ссылку. Это ОЧЕНЬ известное и изученное уравнение.
И опять не то. Уравнение Пелля гораздо проще общей задачи представления числа квадратичной формой - все решения получаются из одного фундаментального. Здесь же фундаментальных решений может быть несколько.

KORIOLA в сообщении #255432 писал(а):
Но имеет ли оно алгебраическое решение?
Нет. Но оно имеет алгоритмическое решение, более простое, чем тупой перебор.

Если что, алгоритмы я брал отсюда:

http://lib.mexmat.ru/books/34638

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group