Всегда ли пи = 3.14...?

[бобыль]

Параграф с таким названием имеется в книжке Жукова "Вездесущее число пи", с. 94-96, где описывается метрическое пространство, в котором пи фиксированно, но может быть любым от 3 до 4. Почитайте внимательно. По-моему, там написана глупость... Наверное, я чего-то не понял, поскольку книжка в целом очень хорошая, обязательно купите, кто не успел купить.

[bot]

А чего странного? Возьмём метрику в R^2, относительно которой окружности будут квадраты со сторонами параллельными осям - получим \pi=4

[бобыль]

Да, именно так и будет, если единица измерения одна и та же по обеим осям (и сторонам) единичного квадрата. Если же единицы разные, например 1 км и 1 м, то периметр этого квадрата равен 4 км и 4 м. И что, пи тоже равно 4?

[bot]

Да, конечно. Эту метрику задаёт следующая норма: $||(x,y)|| = max \{ \frac{|x|}{1000}, |y| \}$
А теперь считайте диаметр и периметр "окружности".

Если взять другую норму $||(x,y)|| = |x|+|y| $, то она задаст метрику согласно которой будет $\pi = 2\sqrt{2}$

[бобыль]

Хорошо, а как подсчитать длину окружности, если единичный круг - это всего лишь симметричная (плюс еще какие-то свойства) фигура вокруг нуля на евклидовой плоскости, как в упомянутой книжке? И вообще, в каких единицах измерять длину окружности, если эти единицы во всех направлениям разные?

[bot]

Дык, я книжку не читал. Чтобы норму задавать, симметрия не важна, даже и выпуклости вроде не надо - есть там понятие звёздной области. Вот одну из них берём за единичную и, раздувая из центра, а потом сдвигая, получаем все окружности.

[бобыль]

В книжке этот пример, взятый из Энциклопедии элементарной математики (ее у меня нет), называется пространством Минковского - Банаха. Берется евлидова плоскость и на каждой прямой, проходящей через ноль, а также на всех параллельных ей прямых задается своя единица измерения, одна и та же, но зависящая от этой прямой. Чтобы в целом получилось метрическое пространство, без доказательства требуется выпуклость единичного круга и еще что-то там, не помню. Затем доказывается, что пи может быть любым от 3 до 4. Но это доказательство мне непонятно.

[bot]

bot писал(а):

Если взять другую норму $||(x,y)|| = |x|+|y| $, то она задаст метрику согласно которой будет $\pi = 2\sqrt{2}$

Не, не будет, будет тоже $\pi = 4$
Надо бы ещё поповорачивать квадрат, взять параллелограмм или что-нить другое симметричное и звёздное и посмотреть, а ещё что-нить кривое и не обязательно выпуклое - астроиду к примеру.
Что-то навскидку кажется, что это более простой путь для построения разных метрик, чем задавать разные масштабы на разных прямых - там ведь их согласовывать как-то придётся.

[Someone]

Насколько я помню, единичный шар в нормированном пространстве должен быть выпуклым, и связано это с неравенством треугольника.

[lofar]

Множество $A\subseteq\mahbb R^n$ называется:
a) центрально-симметричным, если $x\in A\Rightarrow -x\in A$;
b) выпуклым телом, если $A$ выпукло, замкнуто и содержит (евклидов) шар положительного радиуса.

Теорема. Существует биективное соответствие между нормами на $\mathbb R^n$ и ограниченными центрально-симметричнами выпуклыми телами в $\mathbb R^n$. Это соответствие устанавливается соотношениями:

$$\begin{array}{ccc} \|\cdot\| & \mapsto & B, \;\;\mbox{\em где } B=\{x\in\mathbb R^n\colon\|x\|\leqslant 1\},\\ \rule{0pt}{15pt}B & \mapsto & \|\cdot\|,\;\; \mbox{\em где } \|x\|=\inf\{\lambda>0\colon\frac{x}{\lambda}\in B\}. \end{array} $$

По-моему, эта теорема принадлежит Минковскому (могу ошибаться).

[Someone]

lofar писал(а):

Теорема. Существует биективное соответствие между нормами на $\mathbb R^n$ и ограниченными центрально-симметричнами выпуклыми телами в $\mathbb R^n$. Это соответствие устанавливается соотношениями:

$$\begin{array}{ccc} \|\cdot\| & \mapsto & B, \;\;\mbox{\em где } B=\{x\in\mathbb R^n\colon\|x\|\leqslant 1\},\\ \rule{0pt}{15pt}B & \mapsto & \|\cdot\|,\;\; \mbox{\em где } \|x\|=\inf\{\lambda>0\colon\frac{x}{\lambda}\in B\}. \end{array} $$

По-моему, эта теорема принадлежит Минковскому (могу ошибаться).

Математическая энциклопедия ссылается на Колмогорова, но по поводу гораздо более общей ситуации (произвольные линейные топологические пространства).

[бобыль]

Пусть планета обращается вокруг солнца по некоторой кривой. Вроде бы ничто не мешает нам считать, что на самом деле планета движется по единичной окружности, только единица измерения зависит от направления. Длину этой окружности обозначим пи умножить на дэ. Спрашивается, чему равно это пи и какой единицей следует измерять это дэ?

Если планета движется по эллипсу, то еще Кеплер нашел, что пи ~ 3.14..., а дэ - это два корня квадратных из произведения полуосей этого эллипса (их длин). Но пи здесь не есть константа...

Обычно считают, что пи есть константа, а дэ - какое получится...

http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm

Но почему? Почему пи константа, а не какое получится?

[bot]

Теорема Минковского или Колмогорова, о которой говорил lofar, в этом виде и всплыла из подкорки. Именно по её образцу и метрику устроить можно. Назначаем шар из допустимых единичным, теперь расстоянием от А до В называем коэффициент сжатия вектора AB после сдвига А в центр, при котором В попадёт на границу.

Someone писал(а):

Насколько я помню, единичный шар в нормированном пространстве должен быть выпуклым, и связано это с неравенством треугольника.

Наверно я с чем-то спутал, но мне казалось, что выпуклость не обязательна, хотя и сомневался (из-за неравенства треугольника естественно), потому и вспомнил про астроиду, чтобы проверить, но со временем туго - вступ. экзамены в полном разгаре.

[бобыль]

В общем, с вашей помощью я понял, что длина планетной орбиты должна иметь вид пи, умноженного на диаметр орбиты (наибольшее расстояние между ее точками), где пи - функция безразмерных параметров орбиты. В случае эллипса получится формула: пи (в зависимости от эксцентриситета е эллипса), умноженное на длину большей оси эллипса, причем для окружности (е = 0) пи должно равняться 3.14..., как обычно.

Многие люди вроде меня удивятся, обнаружив, что ни в Математическом словаре, ни в Математической энциклопедии нет формулы для длины эллипса, его окружности, там об этом даже не говорится.

Как известно, площадь, ограниченная эллипсом, равна пи, умноженному на произведение его (эллипса) полуосей, и когда эти полуоси равны одному и тому же эр, получается площадь круга: пи эр квадрат. Казалось бы, длина эллипса должна равняться соответственно двум пи на корень квадратный из произведения полуосей эллипса, и когда эти полуоси равны одному и тому же эр, получится длина окружности: два пи эр. Но, оказывается, эта формула (Кеплера) является всего лишь приближенной. Я же утверждаю, что она не просто приближенная, но еще и не совсем правильная, и ее следовало бы переписать в виде пи (в зависимости от эксцентриситета е), умноженного на длину большей оси эллипса, пусть точность от этого не изменится, поскольку зависимость пи от эксцентриситета в действительности довольно сложная. Зачем переписать? А затем, чтобы выделить зависимость от е не чего-нибудь, а именно пи.

[бобыль]

Теперь у меня такой вопрос. В каких пределах может меняться пи?

В указанном выше примере, где пи = 3-4, расстояние сохраняется при параллельном сдвиге и это используется. В общем случае, однако, этого не предполагается и пространство всего лишь метрическое.

В случае формулы Кеплера для эллипса функция пи, если не ошибаюсь, меняется от 0 до 3.14..., но формула эта опять же приближенная...