2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная задача на сходимость ряда
Сообщение19.10.2009, 23:59 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Попался вот такой вот интересный ряд:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\underbrace{\sin\sin...\sin x}_{n ~\text{штук}})^{\alpha}$$
Соответственно, исследовать на сходимость. ($x$ - просто число, насчет областей сходимости заморачиваться не надо).
Для $\alpha = 1$ расходится, оценка довольно проста: $\sin\sin...\sin x \ge \frac{\sin x}{n}$, доказывается методом мат. индукции.
Для $0 < \alpha < 1$ тем более расходится, что непосредственно следует из рассмотренного выше случая.
Для $\alpha \le 0$ расходится, т.к. общий член не стремится к нулю.
Подскажите, как быть с $\alpha>1$? Пытался на компе подобрать оценку сходящимся рядом, получилось, что начиная с $\alpha>3$ (и то - с запасом) уже справедлива оценка $(\sin\sin...\sin x)^{\alpha} < \frac{1}{n^2}$. Однако, понятное дело, это лишь эксперимент, а не доказательство.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача на сходимость ряда
Сообщение20.10.2009, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Короче, положим, итерированный синус имеет асимптотику $1\over n^\beta$. Приблизим синус (последний в цепочке, самый внешний) рядом Тейлора. Увидим, чему равно $\beta$. А теперь как-то всё это надо сделать строго и без "положим".

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача на сходимость ряда
Сообщение20.10.2009, 03:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ответ, конечно, зависит от $x$. В самом интересном Вам поможет тема topic24308.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group