2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача описания бесконечно дифференцируемой функции.
Сообщение08.06.2006, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Осмелюсь предложить для обсуждения достаточно известную , но, тем не менее, интересную, на мой взгляд, задачу:
Что можно сказать о бесконечно дифференцируемой на всей вещественной оси вещественнозначной функции, если имеется всюду плотное на оси множество, в каждой точке которого некоторая ее производная равна нулю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.06.2006, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Трудно сказать что-либо. Нельзя, например, утверждать, что это полином.

Пример неполиномиальной функции, обладающей описанными свойствами: ${\rm e}^{a\,x} \cos x $, при $a: \frac{1}{\pi}\arctan a \notin  {\mathbb Q}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.06.2006, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
То есть Вы предлагаете рассмотреть $f(x) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \;e^{(a + i)x} $ Мне не совсем ясно, почему этот пример удовлетворяет условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.06.2006, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
$\frac{\partial^n}{{\partial x}^n} \Re {\rm e}^{(a+i)x} = \Re {\rm e}^{(a+i)x + n \ln (a+i)}$.

$\Re {\rm e}^{(a+i)x + n \ln (a+i)} = 0 \Leftrightarrow$ $\Im((a+i)x + n \ln (a+i)) = \frac{\pi(2k+1)}{2} \Leftrightarrow$ $x + n \Im \ln (a+i) = \frac{\pi(2k+1)}{2}$, или $x = \frac{\pi(2k+1)}{2} - n \Im \ln (a+i)$. Мы выбирали $a$ так, что соотношение коэффициентов при $k$ и $n$ -- число иррациональное. Посему правая часть образует всюду плотное множество.

Посмотрите, пожалуйста, эту тему -- в ней обсуждалась (неподробно) схожая задача. И обратите внимание на это сообщение. Там гораздо более сильное условие, и тем не менее решение требует "тяжелой артилерии".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.06.2006, 22:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Таких функций много. Некоторый вид я ранее здесь построил. Можно и явный в виде суммы ряда: $$\sum_n \frac{P_n(x)}{2^{2^n}} , \ \ \ P_n(x)=\cos{(2^n\arccos x)}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.06.2006, 06:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Спасибо за обсуждение задачи.

 Профиль  
                  
 
 всюду плотное
Сообщение02.07.2006, 17:27 


02/07/06
8
Забавно. Если "всюду плотное" теперь заменим на "полной меры"(= "почти всюду", дополнение до множества меры нуль), будет ли тогда полином?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group