2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Где ошибка?
Сообщение30.06.2006, 13:13 


30/06/06
313
В каком месте здесь ошибка?

\[ \sqrt{-1}=\sqrt{-1} \]
\[ \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} \]
\[ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}\]
\[ \sqrt{1}\sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} \]
\[ 1 = -1 \]

Используйте, пожалуйста, тег [math]. "Остро и приятно." // нг

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Здесь была написана глупость :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Вообще лучше даже рассмотреть то, что в третьем пункте Вы делите на комплексное число. Преобразуйте выражение слева, домножив его на комплексно-коньюгированное и получите неравенство.

$ \frac {\sqrt{1}} {\sqrt{-1}} = \frac 1 i \to \frac 1 i \cdot \frac {-i} {-i} = \frac {-i} {1} = -i$. Справа у Вас $i$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 13:45 


30/06/06
313
Спасибо, Capella!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Да не момент, чего-то я сама уже в трёх берёзах запуталась, там $-i$ получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Значит насчёт комплексных чисел: там ошибка при переходе от второго пункта к третьему. Во втором пункте корни равны ( и равны $i$), а в третьем у Вас уже два разных комплексных числа: $\frac 1 i \ne \frac i 1 = i $
$ i = e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi} = e^{\frac \pi 2} $
$ \frac 1 i = \frac 1 {e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi}} = ( e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi})^{-1} = e^{- \frac \pi 2} $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Capella писал(а):
Значит насчёт комплексных чисел: там ошибка при переходе от второго пункта к третьему. Во втором пункте корни равны ( и равны ), а в третьем у Вас уже два разных комплексных числа: $\frac 1 i \not = \frac i 1$

Да, именно при переходе от 2-го к 3-му. Т.к. мы уже в поле комплексных чисел с самого начала.

Эта (ш)утка и здесь есть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Вычисления производятся в поле комплексных чисел, где $\sqrt{1}$ и $\sqrt{-1}$ имеют по два значения. Поэтому, если у Вас два раза написано одно и то же выражение, содержащее эти корни, Вы в действительности не можете быть уверены, что в обоих случаях это выражение имеет одно и то же значение. Даже равенство $\sqrt{1}=\sqrt{1}$ в поле комплексных чисел может оказаться неверным, если его интерпретировать как числовое равенство, а не как равенство многозначных функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.07.2006, 13:01 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
или еще можно рассматривать $\sqrt{.}$ как однозначную функцию, но определенную на двулистной римановой поверхности (я не знаю как ее обозначают математики, ну, допустим $G$), т.е. $\sqrt{.}$: $G\to C$, тогда получается, что
$\sqrt{1_1}\neq \sqrt{1_2}$
(индексы означают номер листа римановой поверхности)
поскольку 1-цы принадлежат разным листам римановой поверхности. И можно даже сказать, что $\sqrt{1_1}=1$, а $\sqrt{1_2}=-1$


С учетом этого, ошибка действительно при переходе от 2-й строчки к 3-й.
Должно быть
$$
\sqrt{\frac{1}{-1_1}}=\frac{1}{\sqrt{-1_2}} \hbox{ но не } \frac{1}{\sqrt{-1_1}}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group