2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Школьные" сомнения в напряженности...
Сообщение11.10.2009, 17:02 


16/03/07
825
В теме "Гравитационные эффекты Земли и Солнца" я обратил внимание на сложность такого, казалось бы простого, понятия как напряженность поля.

Но для меня только этими сложностями дело не ограничивается. Рассмотрим НЕКАЛИБРОВОЧНОЕ векторное поле $A_{\mu}$ в пространстве-времени Минковского с метрикой $\eta_{\mu \nu}$. Выберем сферическую систему координат$(t,r,\theta,\phi)$ с естественной нумерацией координат от 1 до 4. Метрика будет иметь вид

$$ \eta_{\mu \nu} = \left ( \begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-r^2&0\\
0&0&0&-r^2 \sin^2 \theta
\end{array} \right ) $$

Выпишу необходимые далее ненулевые компоненты связности - символы Кристоффеля второго рода

$$ \Gamma^{3}_{23} = \Gamma^{4}_{24} = \frac{1}{r} $$

$$ \Gamma^{2}_{33} = -r $$

$$ \Gamma^{4}_{34} = \cot \theta $$

$$ \Gamma^{2}_{44} = -r \sin^2 \theta $$

$$ \Gamma^{3}_{44} = - \cos \theta \sin \theta $$

Рассмотрим статический сферически симметричный случай - компоненты векторного поля $A_{\mu}$ зависят только от радиус-вектора $r$ и равны (впрочем конкретный вид зависимости компонент от $r$ даже и не важен)

$$ A_{\mu} = \left ( \begin{array}{c}
\frac{1}{r}\\
-\frac{1}{r}\\
\frac{1}{r^2}\\
-\frac{1}{r^2}
\end{array} \right ) $$

Рассчитаем напряженности поля как ковариантные производные векторного потенциала

$$ D_{\mu} A_{\nu}= \partial_{\mu} A_{\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} $$

Поскольку связность зависит не только от радиус-вектора, но и от угла, то такую же зависимость получат и компоненты напряженостей, например

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \Gamma^{4}_{3 4} A_{4} $$

или

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \ctg \theta A_{4} =  \frac{\ctg \theta}{r^2} $$

Получается странный результат - для изотропного векторного потенциала имеем неизотропную напряженность :(

Я думаю - это у меня "лыжи не едут" и профи просветят как все надо правильно делать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group