Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Нет, не может.
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?
Да, такое сложение определяется достаточно корректно.
Пусть
--- произвольное множество, не обязательно счётное, и
--- семейство чисел. Пусть
--- множество всех конечных подмножеств множества
. Для каждого
пусть
. Число
полагается по определению равным значению суммы
, если
Другими словами,
--- направленное множество,
--- сеть и сумма
считается равной пределу этой сети.
Легко доказать, что если эта сумма существует, то все
-ые, за исключением не более чем счётного числа, равны нулю (у нас на третьем курсе это было одно из домашних заданий по функану).