2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Таблица умножения для поля GF(9)
Сообщение25.06.2006, 15:06 


21/06/06
21
Подскажите, пожалуйста, как строить таблицу умножения для конечного поля из $9$ элементов $GF(9)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2006, 15:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Рассмотрите как квадратичное расширение поля $Z_3$. Для этого можно взять неразложимый над $Z_3$ квадратный многочлен, например $x^2+1$ и факторизовать алгебру многочленов над $Z_3$ по этому соотношению. Это даст числа вида $a+bx,a,b\in Z_3,
(a_1+b_1x)(a_2+b_2x)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2006, 15:34 


21/06/06
21
Спасибо большое.
Правильно ли я понял?
Берём неприводимый квадратичный многочлен над $Z_3$ (их всего три: $x^2 + 1, x^2 \pm x - 1$.
Берём, к примеру, корень $x^2 + 1$, обозначая его $i$. Тогда в поле из $9$ элементов будут числа:
$-1-i, -1, -1+i, -i, 0,i,1-i, 1, 1+i$. При умножении они будут вести себя как обычные мнимые числа, т.е. если составлять табличку, то в ней число $i^2$ нужно заменять на $-1$?

Почему нужно брать именно квадратичный неприводимый над $Z_3$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2006, 17:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Любое поле порядка $p^k$ содержит простое поле с р элементами и является его алгебраическим расширением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Анти писал(а):
Почему нужно брать именно квадратичный неприводимый над $Z_3$?

Дело в том, что конечное поле порядка $9 = 3^2 $ удобно рассмотреть как алгебраическое расширение поля вычетов по модулю $3$. Если $F$ - поле с $q$ элементами, и $K$ - его расширение степени $n$, то в $K$ содержится $q^n $ элементов.В Вашем случае нужно построить расширение степени $2$. Для этого можно воспользоваться стандартной процедурой: взять неприводимый над исходным полем многочлен и расширить поле присоединением корня этого многочлена. Вам требуется присоединить ровно один корень неприводимого многочлена именно второй степени - тогда поле расширения гарантированно станет двумерным векторным пространством над исходным полем $Z_3$, то есть получит ровно $9$ элементов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group