2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Итерации с множествами и их элементами
Сообщение10.09.2009, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Дано $k$ попарно непересекающихся множеств $A_1,A_2,..,A_k$.
Изначально каждому множеству ставится в соответствие некоторое действительное число, т.е. $\forall i=1..k \exists \varphi_i:A_i\to\alpha_i\in \mathbb R$.
Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$.
Также изначально каждому элементу каждого множества ставится в соответствие некоторое действительное число:
$\forall i=1..k,j=1..|A_i|\exists \psi_{i,j}:a_{i,j}\to\beta_{i,j}\in\mathbb R$
Далее происходит итеративное уточнение:
$\forall i,j: \beta_{i,j}^s=\sum\limits_{l=1}^{k}\frac{\alpha_l^{s-1}}{\alpha_{max}^{s-1}}}\cdot\sum\limits_{n=1, a_{i,j}\equiv a_{l,n}}^{|A_l|}\frac{\beta_{l,n}^{s-1}}{\beta_{max}^{s-1}}$
$\forall i:\alpha_i^s=\sum\limits_{j=1}^{|A_i|}\frac{\beta_{i,j}^{s-1}}{\beta_{max}^{s-1}}$,
где $s$ - номер итерации, $\alpha_{max}^{s-1},\beta_{max}^{s-1}$ - максимальные числа из векторов $\overline\alpha,\overline\beta$ для заданной итерации соответственно.
Вопрос: доказать или опровергнуть, что при любых начальных условиях $\overline\alpha,\overline\beta$ процесс сходится к неподвижной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации с множествами и их элементами
Сообщение11.09.2009, 00:52 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Что-то не так с обозначениями. Например, почему $\varphi_i$ зависит от $i$? Если я правильно понял словесное описание, то должно быть $\varphi: A\rightarrow \mathbb{R},$ где $A=\{ A_1,\dots, A_k\}.$
Аналогичные непонятки с $\psi$ - почему его существование идет после кванторов для $i$ и $j$, если от них это отображение не зависит? Если я правильно понял словесное описание, то должно быть $\psi : \cup A_i \rightarrow \mathbb{R}$ или хотя бы $\psi_i : A_i \rightarrow \mathbb{R}$ (если одинаковые элементы в разных множествах могут отображаться в разные числа).
Эта запись также непонятна:
juna в сообщении #241960 писал(а):
Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации с множествами и их элементами
Сообщение11.09.2009, 07:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Спасибо, я попытался исправить в первоначальном сообщении.
$\forall i=1..k \exists \varphi_i:A_i\to\alpha_i\in \mathbb R$
Это означает, что для каждого множества существует свое действительное число. Можно считать, что первоначально каждому множеству сопоставляется случайное действительное число. Аналогично и с элементами.
maxal писал(а):
если одинаковые элементы в разных множествах могут отображаться в разные числа

Нет одинаковых элементов в разных множествах, они попарно непересекаются.

Цитата:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$


В разных множествах некоторые элементы связаны некоторым отношением, в принципе, не важно каким (в исходной формулировке отношением эквивалентности).

P.S. по-моему, нечто подобное используется в google для определения важности сайтов и ссылок на них (множества - сайты, элементы - ссылки на другие сайты).

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации с множествами и их элементами
Сообщение11.09.2009, 18:48 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
maxal в сообщении #242224 писал(а):
Что-то не так с обозначениями.


Ага. Кванторы вообще не в тему расставлены. Понять, что хотел автор, конечно, можно, но лучше бы условие было оформлено по человечески.

-- Пт сен 11, 2009 21:50:09 --

juna в сообщении #241960 писал(а):
Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$.


Вот этого я вообще не понял. Что имелось в виду, что определено?

Если речь идёт действительно об эквивалентности (имеется в виду общепринятое значение термина "эквивалентность"), то связанные отношением элементы должны принадлежать одному и тому же множеству.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1% ... 1%82%D0%B8

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации с множествами и их элементами
Сообщение11.09.2009, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Если речь идёт действительно об эквивалентности (имеется в виду общепринятое значение термина "эквивалентность"), то связанные отношением элементы должны принадлежать одному и тому же множеству.

Возьмем два предложения русского языка (два множества). Определим между словами (элементами множеств) этих предложений отношение "начинается с одинаковой буквы" - оно рефлексивно, транзитивно и симметрично. Разве это одно и тоже предложение?
В тоже время никто не запрещает рассматривать эквивалентные элементы как одно множество, или даже два предложения как одно множество, разбив его на классы эквивалентности.
Терминологию, конечно, можно уточнять, но если условие задачи понятно, то хотелось бы, чтобы помогли по сути.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group