2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследование особой точки системы дифф. уравнений
Сообщение17.06.2006, 16:02 


19/02/06
16
Дана система:
\begin{cases}
\dot{x}  =  2+y \\
\dot{y}  =  -x^2+x
\end{cases}
И ее особая точка (x, y)=(1, -2). Перенесем заменой координат:
\begin{cases}
x  =  1+ \xi  \\
y  =  -2+\eta
\end{cases}
эту точку в точку (\xi, \eta)=(0, 0).
Линеаризуем систему
\begin{cases}
\dot{x}=\dot{\xi} = \eta + \ldots\\
\dot{y}=\dot{\eta}=-\xi+\ldots
\end{cases}
Корнями характеристического уравнения этой матрицы будут
\begin{vmatrix}
-\lambda & 1\\
-1 & \lambda\end{vmatrix}=0 \Longrightarrow \lambda = \pm \sqrt{2}i. Тип особой точки - центр. Следовательно для исходной системы особая точка может быть либо центром, либо фокусом.
Как определить, какое из них? Если нулевое решение будет асимптотически устойчивым, то фокус, но доказать асимптотическую устойчивость - еще сложнее, как быть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 18:51 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Еще может быть неустойчивый фокус.
Кстати, а особую точку (0,-2) вы уже рассмотрели?

А собственно по задаче - действительно, непонятно. Я попробовал по-простому проверить, что в некоторой окрестности все точки приближаются к особой или удаляются от нее со временем (это бы сразу указывало на фокус), но не получилось, в любой окрестности особой точки есть области приближения и удаления. Видимо, надо проверять устойчивость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 19:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Точка (0,-2) неустойчивая (гиперболическая). А данная точка устойчивая (но не асимптотический). Т.е. траектории в фазовой плоскости замкнутые линии. Это можно проверить непосредственным интегрированием нелинейной системы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 21:45 


19/02/06
16
Руст писал(а):
Точка (0,-2) неустойчивая (гиперболическая). А данная точка устойчивая (но не асимптотический). Т.е. траектории в фазовой плоскости замкнутые линии. Это можно проверить непосредственным интегрированием нелинейной системы.

А можно ли дать ответ на вопрос о типе особой точки по первому интегралу:
Если мы применим замену
\begin{cases}
x  =  1+ \xi  \\
y  =  -2+\eta
\end{cases}
то исходная система преобразуется к виду:
\begin{cases}
\dot{\xi} = \eta \\
\dot{\eta}=-\xi-\xi^2
\end{cases}
Следовательно
d\eta / d\xi =\frac{-\xi ^2-\xi }{\eta }, т.е.
\varphi=\frac{\xi^3}{3}+\frac{\xi^2+\eta^2}{2}=const - первый интеграл.
Как можно этот первый интеграл использовать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 22:06 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
agranom писал(а):
Следовательно
d\eta / d\xi =\frac{-\xi ^2-\xi }{\eta }, т.е.
\varphi=\frac{\xi^3}{3}+\frac{\xi^2+\eta^2}{2}=const - первый интеграл.
Как можно этот первый интеграл использовать?

Это задает около точки (0,0) замкнутые траектории в фазовой плоскости и тем самым доказывает устойчивость (но не асимптотическую) точки равновесия, о чём я раньше писал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group